Pruebalo

Para una variable aleatoria no negativa , ¿cómo demostrar que no en ?$X$$E(X^n)^{\frac1n}$$n$

Escriba en lugar de para enfatizar que puede ser cualquier número real positivo, en lugar de solo un número entero como lo sugiere " ".$p$$n$$n$

Veamos algunas transformaciones preliminares estándar para simplificar los cálculos posteriores. No hace ninguna diferencia en el resultado de reescalar . El resultado es trivial si es casi cero en todas partes, por lo tanto, suponga que es distinto de cero, de donde también es distinto de cero para toda . Ahora arregle y divida entre para que sin pérdida de generalidad.$X$$X$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X^p)$$p$$p$$X$$\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$

$$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$$

Así es como puede proceder el razonamiento cuando intentas resolverlo la primera vez y tratas de no trabajar demasiado. Les dejaré justificaciones detalladas de cada paso.

La expresion $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$es no decreciente si y solo si su logaritmo no es decreciente. Ese registro es diferenciable y, por lo tanto, no disminuye si y solo si su derivada no es negativa. Explotando$(1)$ podemos calcular (mediante la diferenciación dentro de las expectativas) esta derivada como

$$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$$

Escritura $Y=X^p$, el lado derecho no es negativo si y solo si

$$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$$ Pero esta es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Jensen aplicada a la función$f(y) = y\log(y)$ (continuo en los reales no negativos y diferenciable en los reales positivos), porque diferenciar dos veces muestra $$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$$ para $y\gt 0$de donde $f$ es una función convexa en los reales no negativos, produciendo

$$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$$

QED .

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Editar

Edward Nelson ofrece una demostración maravillosamente sucinta. Como una cuestión de notación (estándar), defina$||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$ para $1 \lt p \lt \infty$ (y $||x||_\infty = \sup |x|$) Al observar que la función es convexa, aplica la desigualdad de Jensen para concluir$f(x) = |x|^p$

$$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$$

Aquí está el resto de la demostración en sus propias palabras:

Aplicado a $|x|$ esto da

$$||x||_1 \le ||x||_p,$$ y aplicado a $|x|^r$, dónde $1 \le r \lt \infty$, esto da $$||x||_r \le ||x||_{rp},$$ así que eso $||x||_p$ es una función creciente de $p$ para $1 \le p \le \infty$.

Referencia

Edward Nelson, Teoría de la probabilidad radicalmente elemental. Princeton University Press (1987): pág. 5)