¿Por qué el estimador OLS del coeficiente AR (1) está sesgado?

Estoy tratando de entender por qué OLS da un estimador sesgado de un proceso AR (1). Considere En este modelo, se viola la exogeneidad estricta, es decir, y están correlacionados pero y no están correlacionados. Pero si esto es cierto, ¿por qué no se cumple la siguiente derivación simple?

\begin{aligned} y_{t} & = α + β y_{t - 1} + ϵ_{t}, \\ ϵ_{t} & \overset{i i d}{\sim} N (0, 1) . \end{aligned}

$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$

y_{t}

$y_t$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

\begin{aligned} plim \hat{β} & = \frac{Cov (y_{t}, y_{t - 1})}{Var (y_{t - 1})} \\ = \frac{Cov (α + β y_{t - 1} + ϵ_{t}, y_{t - 1})}{Var (y_{t - 1})} \\ = β + \frac{Cov (ϵ_{t}, y_{t - 1})}{Var (y_{t - 1})} \\ = β . \end{aligned}

$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$

— Florestan
fuente

Ha habido algunas preguntas relacionadas en Cross Validated. Podrías beneficiarte de buscarlos.

— Richard Hardy

Los vi, pero en realidad no me ayudaron. Encontré una prueba y simulaciones que muestran este resultado. Lo que me interesa es lo que está mal con mi razonamiento anterior.

— Florestan

Cuando está utilizando , ¿no está abordando la coherencia en lugar de la (des) parcialidad? Para (des) parcialidad, debe utilizar las expectativas.

plim

$\text{plim}$

— Richard Hardy

Tienes toda la razón, eso podría resolver el rompecabezas. Entonces, si la ecuación anterior no se cumple sin un apuro, entonces no contradiría el sesgo de OLS en muestras pequeñas y mostraría la consistencia de OLS al mismo tiempo. Aunque estoy un poco inseguro: ¿esta fórmula de covarianza sobre varianza realmente solo se cumple para el plim y no también en la expectativa? Muchas gracias ya!

— Florestan

El estimador OLS en sí mismo no implica ningún

, solo debe observar las expectativas en muestras finitas.

plim

$\text{plim}$

— Richard Hardy

Respuestas:

Como se discutió esencialmente en los comentarios, la imparcialidad es una propiedad de muestra finita, y si la tuviera se expresaría

mi (\hat{β}) = β

$E (\hat \beta ) = \beta$

(donde el valor esperado es el primer momento de la distribución de muestras finitas)

mientras que la consistencia es una propiedad asintótica expresada como

plim \hat{β} = β

$\text{plim} \hat \beta = \beta$

El OP muestra que, aunque OLS en este contexto está sesgado, sigue siendo coherente.

mi (\hat{β}) \neq β pero plim \hat{β} = β

$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$

No hay contradicción aquí.

— Alecos Papadopoulos
fuente

@Alecos explica muy bien por qué una plim correcta e imparcialidad no son lo mismo. En cuanto a la razón subyacente por la cual el estimador no es imparcial, recuerde que la imparcialidad de un estimador requiere que todos los términos de error sean independientes de la media de todos los valores del regresor, . $E(\epsilon|X)=0$

En el presente caso, la matriz del regresor consta de los valores , de modo que - vea el comentario de mpiktas - la condición se traduce en para todo . $y_1,\ldots,y_{T-1}$ $E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$ $s=2,\ldots,T$

Aquí tenemos

incluso bajo el supuesto tenemos que Pero,

y_{t} = β y_{t - 1} + ϵ_{t},

$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$

E (ϵ_{t} y_{t - 1}) = 0

$E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$

mi (ϵ_{t} y_{t}) = mi (ϵ_{t} (β y_{t - 1} + ϵ_{t})) = mi (ϵ_{t}^{2}) \neq 0.

$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$

también es un regresor para valores futuros en un modelo AR, como

y_{t}

$y_t$

y_{t + 1} = β y_{t} + ϵ_{t + 1}

$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

— Christoph Hanck
fuente

Yo añadiría la aclaración de que

, en este caso se traduce en

para cada

. Entonces la discusión adicional se vuelve un poco más clara.

E (ε | X)

$E(\varepsilon | X)$

E (ε_{s} | y_{1}, . . ., y_{T})

$E(\varepsilon_s|y_{1},...,y_T)$

s

$s$

— mpiktas

buen punto, hice una edición

— Christoph Hanck

Ampliando en dos buenas respuestas. Escriba el estimador OLS:

\hat{β} = β + \frac{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1} ε_{t}}{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1}^{2}}

$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$

Por imparcialidad necesitamos

mi [\frac{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1} ε_{t}}{\sum_{t = 2}^{T} y_{t - 1}^{2}}] = 0.

$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$

$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$ $t$ $\varepsilon_t$ $y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$

— mpiktas
fuente

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

ϵ_{t}

$\epsilon_{t}$

Sí, esa es la intuición correcta. Tenga en cuenta que la exogeneidad estricta no es posible en este caso, pero para la imparcialidad, la exogeneidad estricta se convierte en un requisito.

— mpiktas