¿Derivación del cambio de variables de una función de densidad de probabilidad?

En el libro de reconocimiento de patrones y aprendizaje automático (fórmula 1.27), da

dondex=g(y),px(x)es el pdf que corresponde apy(y

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ $x=g(y)$$p_x(x)$$p_y(y)$ con respecto al cambio de la variable.

Los libros dicen que es porque las observaciones que caen en el rango , para valores pequeños de δ x , se transformarán en el rango ( y , y + δ y ) .$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y)$

¿Cómo se deriva esto formalmente?

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Actualización de Dilip Sarwate

El resultado se mantiene solo si es una función estrictamente monótona de aumento o disminución.$g$

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Algunas modificaciones menores a la respuesta de LV Rao Por lo tanto, si está aumentando monotónicamente

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$f Y ( y ) = f X ( g - 1 ( y ) ) ⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ si disminuye monotónicamente FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$