Variables aleatorias para las cuales las desigualdades de Markov y Chebyshev son estrechas

Estoy interesado en construir variables aleatorias para las cuales las desigualdades de Markov o Chebyshev son estrechas.

Un ejemplo trivial es la siguiente variable aleatoria.

P ( | X | ≥ 1 ) = $P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Su media es cero, la varianza es 1 y . Para esta variable aleatoria, chebyshev es ajustado (se mantiene con igualdad).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

¿Existen variables aleatorias más interesantes (no uniformes) para las cuales Markov y Chebyshev son estrictos? Algunos ejemplos serían geniales.

La clase de distribuciones para las cuales se mantiene el caso límite del límite de Chebyshev es bien conocida (y no es tan difícil de adivinar). Normalizado por ubicación y escala es

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Esta es (hasta escala) la solución dada en la página de Wikipedia para la desigualdad de Chebyshev .

[Puede escribir una secuencia de distribuciones (colocando más probabilidad en el centro con el mismo eliminado de manera uniforme de los puntos finales) que satisfaga estrictamente la desigualdad y se acerque a ese caso límite tan estrechamente como lo desee.]$\epsilon>0$

Cualquier otra solución puede obtenerse por localización y escala turnos de esto: Let .$X=\mu+\sigma Z$

Para la desigualdad de Markov, sea entonces tienes probabilidad 1 - 1 / k 2 en 0 y 1 / k 2 en k . (Aquí se puede introducir un parámetro de escala pero no un parámetro de ubicación)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Las desigualdades de momento, y de hecho muchas otras desigualdades similares, tienden a tener distribuciones discretas como sus casos limitantes.

Creo que obtener una distribución continua sobre todo el eje real que sigue exactamente el límite de Chebyshev puede ser imposible.

$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$

$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$