De la distribución uniforme a la distribución exponencial y viceversa.

20

Esta es probablemente una cuestión trivial, pero mi búsqueda ha sido infructuosa hasta ahora, incluyendo este artículo de Wikipedia , y el "Compendio de Distribuciones" documento .

Si tiene una distribución uniforme, ¿significa que sigue una distribución exponencial? $X$ $e^X$

Del mismo modo, si sigue una distribución exponencial, ¿significa que sigue una distribución uniforme? $Y$ $ln(Y)$

— luchonacho
fuente

3

¿Por qué esperarías que sea así? Por el nombre? Verifique en.wikipedia.org/wiki/… para ver cómo otras distribuciones están relacionadas con exponencial. También ...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— Tim

No, creo que estoy siguiendo analogías con transformaciones de funciones estándar, olvidando que con las distribuciones, las cosas son diferentes.

— luchonacho

25

No es el caso de que exponiendo una variable aleatoria uniforme dé una exponencial, ni tomar el registro de una variable aleatoria exponencial produce un uniforme.

Deje que sea uniforme en y deje que . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Entonces . $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Esta no es una variante exponencial. Un cálculo similar muestra que el registro de un exponencial no es uniforme.

Sea exponencial estándar, entonces . $Y$ $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Let . Entonces . $V=\ln Y$ $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Esto no es un uniforme. (De hecho, es una variable aleatoria distribuida por Gumbel , por lo que podría llamar a la distribución de un 'Gumbel invertido'). $-V$ $V$

Sin embargo, en cada caso podemos verlo más rápidamente simplemente considerando los límites de las variables aleatorias. Si es uniforme (0,1) se encuentra entre 0 y 1, entonces encuentra entre y ... por lo que no es exponencial. Del mismo modo, para exponencial, está activado , por lo que no puede ser uniforme (0,1), ni ningún otro uniforme. $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

También podríamos simular, y nuevamente verlo de inmediato:

Primero, exponiendo un uniforme -

[la curva azul es la densidad (1 / x en el intervalo indicado) que calculamos arriba ...]

Segundo, el registro de un exponencial:

¡Lo que podemos ver está lejos de ser uniforme! (Si diferenciamos el cdf que elaboramos antes, lo que daría la densidad, coincidirá con la forma que vemos aquí).

De hecho, el método cdf inverso indica que tomar el negativo del logaritmo de una variable uniforme (0,1) da una variante exponencial estándar y, por el contrario, exponiendo el negativo de un exponencial estándar da un uniforme. [Ver también la transformación integral de probabilidad ]

Este método nos dice que si , . Si aplicamos el inverso del cdf como una transformación en , un uniforme estándar, la variable aleatoria resultante tiene la función de distribución . $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

Si dejamos que sea uniforme (0,1), entonces . Deje . (Tenga en cuenta que también es uniforme en (0,1), por lo que podría dejar que , pero aquí seguimos el método cdf inverso completo) $U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

Entonces , que es el cdf de un exponencial estándar. $P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[Esta propiedad de la transformación cdf inversa es la razón por la cual la transformación es realmente necesaria para obtener una distribución exponencial, y la transformación integral de probabilidad es la razón por la que exponiendo lo negativo de un exponencial negativo vuelve a ser uniforme.] $\log$

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

¡Gran respuesta! Gracias. Ya lo veo. Calculé el CDF en ambos casos, y obtuve el negativo del registro en el primer caso y el valor absoluto de un inverso, en el último. Creo que mi confusión está en pensar en términos de transformaciones de funciones estándar, lo que no se cumple cuando se trata de distribuciones. ¡+1 para los gráficos!

— luchonacho

6

Casi lo tienes de atrás hacia adelante. Tu preguntaste:

"Si tiene una distribución uniforme, ¿significa que sigue una distribución exponencial?" $X$ $e^X$
"Del mismo modo, si sigue una distribución exponencial, ¿significa que sigue una distribución uniforme?" $Y$ $\ln(Y)$

De hecho

si es uniforme en entonces sigue una distribución exponencial con el parámetro $X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
si sigue una distribución exponencial con el parámetro entonces tiene una distribución uniforme en . $Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

En general, se podría decir:

si es uniforme en entonces sigue una distribución exponencial con el parámetro de velocidad $X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
si sigue una distribución exponencial con el parámetro de velocidad entonces tiene una distribución uniforme en mientras que tiene una distribución uniforme en $Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— Enrique
fuente