Distribución condicional de variable aleatoria uniforme dada estadística de orden

Tengo la siguiente pregunta a mano:

Supongamos que son variables aleatorias iid que siguen a Unif . ¿Cuál es la distribución condicional de dada ?$U,V$$(0,1)$$U$$Z:=\max(U,V)$

Traté de escribir $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ donde $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Pero no estoy llegando a ninguna parte.

Una imagen puede ayudar. Las distribuciones uniformes independientes en el intervalo pueden considerarse una distribución uniforme en el cuadrado de la unidad . Los eventos son regiones en el cuadrado y sus probabilidades son sus áreas.$[0,1]$$I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Sea cualquier valor posible de . El conjunto de coordenadas donde forma los bordes superior y derecho de un cuadrado del lado . Sea un pequeño número positivo. El conjunto de coordenadas cuyo máximo se encuentra entre y forma un engrosamiento estrecho de ese cuadrado, como está sombreado en la figura. Su área es la diferencia de las áreas de dos cuadrados, uno del lado y el otro del lado , de donde$z$$\max(U,V)$$(U,V)$$\max(U,V)=z$$z$$dz$$(U,V)$$z$$z+dz$$z+dz$$z$

$$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$$

Vamos ser cualquier valor posible de : se marca con una línea vertical discontinua en las figuras. $u$$U$

El panel izquierdo muestra un caso donde : La posibilidad de que sea ​​el área a la izquierda de esa línea (igual a ); pero el evento de que y encuentra entre y es solo el área sombreada de color marrón. Es un rectángulo, por lo que su área es su ancho veces su altura . Así,$u \le z$$U\le u$$u$$U\le u$ $Z$$z$$z+dz$$u$$dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$$

El panel derecho muestra un caso donde . Ahora la posibilidad de que y consista en dos rectángulos. El superior tiene base y altura ; el derecho tiene base y altura . Por lo tanto$z \lt u \le z+dz$$U \le u$$z \lt Z \le z+dz$$u$$dz$$(u-z)$$z+dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$$

Por definición, las probabilidades condicionales son estas posibilidades divididas por la probabilidad total de que , dada en arriba. Divida y por este valor. Dejar que sea ​​infinitesimal y retener la parte estándar del resultado da las posibilidades condicionadas a . Por lo tanto, cuando ,$z \le Z \le z+dz$$(1)$$(2)$$(3)$$dz$$Z=z$$0 \le u \le z$

$$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$$

Cuando , escriba para y calcule$z \lt u \le z+dz$$u = z + \lambda dz$$0 \lt \lambda \le 1$

$$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$$

Finalmente, para , el área marrón en el panel derecho ha crecido para igualar el área gris, de donde su relación es .$u \gt z+dz$$1$

Estos resultados muestran que la probabilidad condicional crece linealmente de a a medida que crece de a , luego se dispara linealmente de a en el intervalo infinitesimal entre y , luego se queda en para todos los grandes . Aquí hay un gráfico:$0$$z/(2z)=1/2$$u$$0$$z$$1/2$$1$$z$$z+dz$$1$$u$

Debido a que es infinitesimal, ya no es posible distinguir visualmente de : la trama salta desde una altura de a .$dz$$z$$z+dz$$1/2$$1$

Al poner todo lo anterior en una sola fórmula para aplicar a cualquier para la cual , podríamos escribir la función de distribución condicional como$z$$0 \lt z \le 1$

$$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$$

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Esta es una respuesta completa y rigurosa. El salto muestra que una función de densidad de probabilidad no describirá adecuadamente la distribución condicional en el valor . Sin embargo, en todos los demás puntos, hay una densidad . Es igual a para , para (la derivada de con respecto a ), y para . Podría usar una "función generalizada" para escribir esto en una forma similar a la densidad. Sea la "densidad generalizada" que da un salto de magnitud$U=z$$f_{U|Z=z}(u)$$0$$u\le 0$$1/(2z)$$0 \le u \lt z$$u/(2z)$$u$$0$$u \gt z$$\delta_z$$1$en : es decir, es la "densidad" de un átomo de probabilidad unitaria ubicado en . Entonces, la densidad generalizada en puede escribirse para expresar el hecho de que una probabilidad de se concentra en . En su totalidad, podríamos escribir$z$$z$$z$$\frac{1}{2}\delta_z$$1/2$$z$

$$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$$

Primero considere la distribución del máximo condicional en . El máximo vuelve igual a en el caso de que con probabilidad condicional . De lo contrario, lleva algún valor mayor que igual a . La distribución condicional general será, por lo tanto, una mezcla entre una masa puntual en (de tamaño u) y una densidad uniforme en (que se integra a ). Representando la masa puntual por la función delta de Dirac, la función de densidad de probabilidad generalizada (gpdf) de esta distribución condicional es $Z$$U=u$$Z$$u$$V<u$$u$$Z$$u$$V$$u$$(u,1)$$1-u$

$$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$$ La gpdf conjunta de y es entonces El pdf del máximo es . Por lo tanto, el gpdf condicional de dado el máximo convierte en $Z$$U$ $$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$$ $f_Z(z)=2z$$U$$Z$ $$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$$ $z$con probabilidad 1/2 y una densidad uniforme en integrando a 1/2.$(0,z)$