Considere 3 muestras de iid extraídas de la distribución uniforme , donde es el parámetro. Quiero encontrar
donde es la estadística de orden .u(θ,2θ)θ
E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i
Esperaría que el resultado sea
Pero la única forma en que puedo mostrar este resultado parece ser también largo, no puedo encontrar una solución simple, me estoy perdiendo algo, ¿hay algún atajo?
E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
Lo que hago es lo siguiente:
Encuentro la densidad condicional
f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
Integro
E[X(2)|X(1),X(3)]=∫xf(x|x(1),x(3))dx
Detalles:
Adopto una fórmula general para la densidad de la estadística de orden (con un indicador del conjunto )I{A}A
fx(1),…,x(n)(x1,⋯,xn)=n!∏i=1nfx(xi)I{x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n)}(x1,⋯,xn)
para obtener para mi caso
fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1≤x2≤⋯≤xn}(x1,⋯,x3)
marginal de esfx(1),x(3)(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2
es decir
fx(1),x(3)(u,v)=∫3!1θ3I{x1=u≤x2≤x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[v−u]
por eso
f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iu≤x2≤⋯≤v(u,x2,v)3!1θ3[v−u]=[v−u]−1I{u<x2<v}
lo que da
E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[v−u]−1∫vuxdx=[v−u]−1[v2−u2]2=u+v2