Valor esperado vs. valor más probable (modo)

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El valor esperado de una distribución es la media, es decir, el valor promedio ponderado $f(x)$

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d X

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

El valor más probable es el modo, que es el valor más probable.

Sin embargo, ¿esperamos de alguna manera ver muchas veces? Citando desde aquí : $E[x]$

Si los resultados no son igualmente probables, entonces el promedio simple debe ser reemplazado por el promedio ponderado, que tiene en cuenta el hecho de que algunos resultados son más probables que otros. Sin embargo, la intuición sigue siendo la misma: el valor esperado de es lo que se espera que suceda en promedio . $x_i$ $x$

No puedo entender qué significa "suceder en promedio". ¿Significa esto que, por casualidad, tomar una medida mucho tiempo espero ver más que otros valores de ? ¿Pero no es esta la definición de modo? $E[x]$ $x$

Entonces, ¿cómo interpretar la declaración? ¿Y cuál es el significado probabilístico de ? $E[x]$

También me gustaría mostrar un ejemplo en el que me confundo. Al estudiar la distribución aprendí que el modo es , mientras que , donde son los grados de libertad de datos. $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$

Escuché en la universidad que, al hacer una prueba de después de usar el Método de mínimos cuadrados para ajustar un conjunto de datos, debería esperar obtener porque "eso es lo que sucede en general". $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

¿Entendí mal todo esto o es el valor esperado de alguna manera muy probable? (Incluso si el valor más probable es, por supuesto, el modo)

— Sørën
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Realmente me gusta el poder de la metáfora de tickets-in-a-box para esta pregunta, porque produce una respuesta simple y clara: la expectativa de una variable aleatoria es la suma de sus valores (como se dibuja en los tickets) dividida por El recuento de las entradas. Eso es. Cualquier declaración que no se desprenda de esta definición (o equivalentes matemáticos más sofisticados de la misma) es solo una heurística y podría ser incorrecta en algunas circunstancias.

— whuber

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Para una distribución Normal, el valor esperado, también conocido como la media, es igual al modo.

En general, el valor esperado no solo no es el más probable (o la densidad más alta), sino que puede no tener posibilidades de ocurrir. Por ejemplo, considere la variable aleatoria X que es igual a 0 o 2, cada una con probabilidad 0.5. Entonces EX = 1, pero el valor esperado, 1, tiene 0 probabilidad de ocurrir, mientras que 0 y 2 son ambos modos de distribución.

La cita "el valor esperado de x es lo que uno espera que suceda en promedio" es un lenguaje simple no técnico, que como es evidente por su confusión, solo sirve para confundir las cosas. El valor esperado tiene un significado muy específico en probabilidad como el promedio matemático. Mientras que en lenguaje sencillo, un valor esperado o "en promedio" puede ser algo que se espera que ocurra típicamente. Estos pueden conciliarse si "en promedio" se interpreta como el promedio matemático de lo que ocurre.

Expectativamente tuyo,

Joe Average

— Mark L. Stone
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Se plantea la pregunta: ¿Qué pasa con la mediana, que se garantiza que sea posible ?

— estrella brillante

Como dijo @TrevorAlexander, el modo tampoco da garantías. Considere el modo de distribución continua.

— Tim

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P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

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PAG (X = mi (X)) = 0 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

La única justificación para el valor esperado, y la razón por la que "esperamos verlo a menudo", es la Ley de los grandes números :

$n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{norte}}{norte} \to mi (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

$\to$

$p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

mi (X) = 1 \cdot pag + 0 0 \cdot (1 - pag) = pag

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

Ahora claramente "p" nunca sucederá (ya sea cabeza o cola, 0 o 1).

$E(X) = p$

— Hormiga
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No diría que la ley de los grandes números es la única justificación del valor esperado. Por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/… es una justificación para considerar los valores esperados de las funciones de utilidad (no he estudiado la prueba, pero me sorprende si de alguna manera se basa en la ley de los grandes números).

— Juho Kokkala

3

No me gusta el término "valor esperado" y no lo usé para enseñar la probabilidad. La "media aritmética" es mejor, en mi opinión, porque la media aritmética de un dado de 6 lados es 3.5 pero ese número no ocurre. Originalmente escuché el término "valor de expectativa" para el concepto cuando estaba en la universidad. Muchos términos técnicos no están de acuerdo con el significado no técnico obvio. ("O" viene a la mente).

Tenga en cuenta que una distribución puede tener más de un modo, pero la media aritmética es única. La moda, la media y la mediana son diferentes y tienen diferentes usos.

— ttw
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1

Agradable en el "o". Eso me hizo pensar en mi curso de programación lineal en el que estudiamos varios teoremas de la alternativa. Eran de la forma "O A es verdadero o B es verdadero, pero no ambos". Es mucho más fácil expresarlo como A xor B. No escucho mucho uso de xor en una conversación informal en la calle.

— Mark L. Stone

2

La diferencia es más fácil de ver con distribuciones discretas:

Considere dos conjuntos de valores donde cada número tiene la misma probabilidad de ser dibujado: {1,2,2,2,10} y {1,2,2,2,3}.

Ambos tienen el mismo modo (2), pero los valores esperados difieren. El valor esperado pone un peso extra en los valores grandes, mientras que el modo simplemente busca qué valor ocurre con frecuencia. Entonces, si extrajo de esta distribución varias veces, su promedio de muestra estaría cerca del valor esperado, mientras que el número entero más común sería el cercano al modo.

$mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$

El uso del lenguaje para distinguir entre diferentes medidas de tendencia central es un problema común cuando se aprenden estadísticas. Por ejemplo, la mediana es otra medida que no está sesgada por valores grandes como el promedio.

— VCG
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