Distribución de la forma cuadrática de las normales.

Estoy tratando de averiguar la distribución de donde , iid sé que, tomando cada uno de los términos por separado, y Pero no estoy seguro acerca de la distribución de (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Zailei Chen
fuente

¡Bienvenido a nuestro sitio! ¿Es esta una pregunta de un curso o libro de texto? Si es así, agregue la [self-study]etiqueta y lea su wiki . De lo contrario, sería interesante saber en qué contexto surgió este problema. Gracias por mostrarnos lo que han hecho y donde está atascado

— pececillo de plata

@Silverfish No, esto es algo que estoy tratando de resolver. He destilado el problema a esta simple pregunta; ¡Mi problema original es bastante más complicado, me temo! Entonces, he tratado de preguntar solo la parte en la que realmente necesito ayuda. Pero, si esto parece un problema de libro de texto, estaría muy interesado en aprender de qué texto, con la esperanza de que proporcione la información relevante :)

— Zailei Chen

Eso parece sensato! Además, gracias por usar la composición tipográfica Latex, siempre apreciamos el esfuerzo

— Silverfish

Aquí hay un intento :

Considere tal que e con $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

No estoy seguro de si puede reducirse a un MGF insondable.

— derechos
fuente

Algunas discusiones sobre una situación un poco más general aparecen en stats.stackexchange.com/questions/72479 , con una referencia a un documento que ofrece una aproximación.

— Whuber