X∼Power(xmin,α)Y=ln(x/xmin)∼Exp(α−1)X
YX
α−1=λY(y)=limϵ↓01ϵ⋅P(y⩽Y⩽y+ϵ|Y⩾y)=limϵ↓01ϵ⋅P(ln(x)⩽ln(X)⩽ln(x)+ϵ|X⩾x)=limϵ↓0P(x⩽X⩽xeϵ|X⩾x)ϵ=limδ↓1P(x⩽X⩽δx|X⩾x)lnδ.
De esta caracterización del peligro podemos ver que para cualquier valor pequeño de . Observe que esta probabilidad no depende del valor de condicionamiento , que es el resultado de la propiedad de riesgo constante. Por lo tanto, para cualquier valor de condicionamiento , y cualquier valor pequeño , tenemos:P(x⩽X⩽δx|X⩾x)≈(α−1)lnδlnδxx,x′>xminlnδ
P(x⩽X⩽δx|X⩾x)≈P(x′⩽X⩽δx′|X⩾x′).
Por lo tanto, vemos que la ley de poder puede caracterizarse por el hecho de que esta probabilidad condicional es aproximadamente la misma independientemente del punto de condicionamiento. En el contexto de los precios de las acciones, si estos siguen una ley de poder, entonces podemos decir que la probabilidad de que las acciones "suban" en alguna proporción no depende de su valor presente .†
† Aquí usamos "subida" libremente, ya que estamos hablando de una sola variable aleatoria, y no hemos modelado una serie temporal de precios de acciones. Dentro de nuestro contexto actual, nos referimos a la probabilidad de un "aumento" en el precio de las acciones en el sentido de una probabilidad condicional de que el precio esté dentro de un intervalo por encima de un límite inferior, condicional a este límite inferior.