¿Qué significa decir que un evento "sucede eventualmente"?

Considere una caminata aleatoria de 1 dimensión en los enteros con el estado inicial : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

donde los incrementos $\xi_i$ son IID tales que $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ .

Uno puede probar que (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

donde el subíndice denota la posición inicial.

$\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Ambas pruebas se pueden encontrar en http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Al leer el artículo, entiendo ambas pruebas.

Sin embargo, mi pregunta es cuál es el significado de "eventualmente" en la primera declaración, así como en general. Si algo sucede "eventualmente", no tiene que ocurrir en un tiempo finito, ¿verdad? Si es así, ¿cuál es realmente la diferencia entre algo que no sucede y algo que no sucede "eventualmente"? Las declaraciones (1) y (2) en cierto sentido me contradicen. ¿Hay otros ejemplos como este?

EDITAR

Solo quiero agregar una motivación para la pregunta, es decir, un ejemplo sencillo de algo que sucede "eventualmente", pero con un tiempo de espera esperado finito .

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Por lo tanto, sabemos que el caminante "eventualmente" se moverá hacia la izquierda, y el tiempo de espera esperado antes de hacerlo (es decir, moverse hacia la izquierda) es . $1/(1/2)=2$

Ver algo que sucede "eventualmente" pero con un "tiempo de espera" infinito esperado fue bastante difícil para mi imaginación. La segunda mitad de la respuesta de @ whuber es otro gran ejemplo.

— Ye Tian
fuente

eventualmente no significa en tiempo finito. Eso es precisamente lo que se está contrastando: P es finito, mientras que la expectativa de tau es infinita

— seanv507

Bueno, existe el ejemplo canónico de la distribución de Cauchy en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Sí, aunque la media de la distribución de Cauchy es indefinida en lugar de infinita (una media de muestra de Cauchy dbn saltará cuando

acerque al infinito en lugar de converger de manera constante a + Infinito). Estaba pensando en la distribución de Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), que tiene media = Infinito cuando su parámetro de forma

y, sin embargo, tiene una función de distribución de probabilidad bien definida.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF gracias - Debería haber dicho Pareto

— seanv507

Hay algo de consuelo en todo esto: si

, entonces

, pero no al revés.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

Respuestas:

¿Cómo demostraría que un evento "eventualmente sucede"? Realizarías un experimento mental con un oponente hipotético. Tu oponente puede desafiarte con cualquier número positivo . Si puede encontrar una (que probablemente depende de ) para la cual la probabilidad de que ocurra el evento en el tiempo es al menos , entonces gana. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

En el ejemplo, " " es una notación engañosa porque la usa tanto para referirse a un estado de una caminata aleatoria como a toda la caminata aleatoria misma. Cuidemos de reconocer la distinción. "Alcanza eventualmente" se refiere a un subconjunto del conjunto de todas las caminatas aleatorias . Cada caminata tiene infinitos pasos. El valor de en el tiempo es . " alcanza en el tiempo " se refiere al subconjunto de de caminatas que han alcanzado el estado $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ por el tiempo . Rigurosamente, es el conjunto $n$

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

En su respuesta al oponente imaginario, está exhibiendo algunos con la propiedad que $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Como es arbitrario, tiene disponibles todos los elementos del conjunto $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Recuerde que si y solo si existe un finito para el cual , por lo que no hay números infinitos involucrados en esta unión). $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Tu habilidad para ganar el juego muestra que esta unión tiene una probabilidad que excede todos los valores de la forma , sin importar cuán pequeño pueda ser . En consecuencia, esa probabilidad es al menos y por lo tanto igual a . Habrás demostrado, entonces, que $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Una manera simple de apreciar la distinción entre "suceder eventualmente" y tener un tiempo de primer paso infinito esperado es contemplar una situación más simple. Para cualquier número natural, sea la secuencia $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

en el que ceros son seguidos por una cadena interminable de unos. En otras palabras, estas son las caminatas que permanecen en el origen y en algún momento (finito) pasan al punto , y luego permanecen allí para siempre. $n$ $1$

Sea el conjunto de todos estos con el discreto álgebra sigma. Asignar una medida de probabilidad a través de $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Esto fue diseñado para hacer que la posibilidad de saltar a para el tiempo igual a , que obviamente se acerca de manera arbitraria a . Ganarás el juego. El salto finalmente ocurre y cuando lo hace, será en algún momento finito. Sin embargo, el tiempo esperado cuando ocurre es la suma de la función de supervivencia (que da la posibilidad de no haber saltado en el tiempo ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

que diverge Esto se debe a que se da una probabilidad relativamente grande de esperar mucho tiempo antes de saltar.

— whuber
fuente

¿Estoy malinterpretando si leo su primera sección como si se redujera a un argumento épsilon / delta y, por lo tanto, básicamente digo

(donde

es la probabilidad de algún evento después de

pasos)?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm No solo se reduce a esto: es un argumento epsilon-delta. En este caso, "delta" es "

" y "epsilon" se escribe "

" como recordatorio de que es una probabilidad. El énfasis aquí está en la finitud de

: los límites se definen en términos de valores finitos y operaciones finitas, no infinitas.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

Agradezco a un usuario anónimo por sugerir el uso de underbraceen la descripción de

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

Que algo suceda eventualmente significa que hay un punto en el tiempo en el que sucede, pero existe una connotación de que uno no se refiere a un tiempo específico en particular antes de que suceda. Si dice que algo sucederá dentro de tres semanas, esa es una afirmación más fuerte que eventualmente sucederá. Que sucederá eventualmente no especifica un tiempo, como "tres semanas" o "treinta mil millones de años" o "un minuto".

— Michael Hardy
fuente