Intuición detrás de la tasa de riesgo

Estoy confundido acerca de la ecuación que sirve como la definición de la tasa de riesgo. Tengo la idea de cuál es la tasa de riesgo, pero simplemente no veo cómo la ecuación expresa esa intuición.

Si $x$ es una variable aleatoria que representa el punto de tiempo de muerte de alguien en un intervalo de tiempo $[0,T]$ . Entonces la tasa de riesgo es:

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Donde $F(x)$ representa la probabilidad de la muerte hasta punto de tiempo $x\in[0,T]$ ,
$1-F(x)$ representa la probabilidad de haber sobrevivido hasta punto de tiempo $x\in[0,T]$ ,
y $f(x)$ es la probabilidad de muerte en el punto $x$ .

¿Cómo la división de $f(x)$ entre la tasa de supervivencia explica la intuición de la probabilidad de muerte instantánea en el próximo $\Delta t$ ? ¿No debería ser simplemente $f(x)$ , haciendo que el cálculo de la tasa de riesgo sea trivial?

Deje denotar la hora de la muerte (o la hora del fracaso si prefiere una descripción menos morbosa). Suponga que X es una variable aleatoria continua cuya función de densidad f ( t ) no es cero solo en ( 0 , ∞ ) . Ahora, observe que debe ser el caso de que f ( t ) se desvanece a 0 como t → ∞ porque si f ( t ) no se desvanece como se indicó, entonces ∫ ∞ - ∞$X$$X$$f(t)$$(0,\infty)$$f(t)$$0$$t \to \infty$$f(t)$ no puede sostenerse. Por lo tanto, su noción de quef(T)es la probabilidad de muerte en el momentoT (en realidad, esf(T)Δtque es (aproximadamente) la probabilidad de muerte en elcortointervalo(T,T+Δt] de longitudΔt) lleva a conclusiones inverosímiles e increíbles como$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$$f(T)$$T$$f(T)\Delta t$$(T, T+\Delta t]$$\Delta t$

Es más probable que muera en el próximo mes cuando tenga treinta años que cuando tenga noventa y ocho años.

siempre que sea ​​tal que f ( 30 ) > f ( 98 ) .$f(t)$$f(30) > f(98)$

La razón por la cual (o f ( T ) Δ t ) es la probabilidad "incorrecta" de observar es que el valor de f ( T ) es de interés solo para aquellos que están vivos a la edad T (y aún mentalmente lo suficientemente alerta como para leer estadísticas. ¡Consulte regularmente!) Lo que debe tenerse en cuenta es la probabilidad de que un T- year old muera en el próximo mes, es decir,$f(T)$$f(T)\Delta t$$f(T)$$T$$T$

$$\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$$

Eligiendo que sea ​​una quincena, una semana, un día, una hora, un minuto, etc., llegamos a la conclusión de que la tasa de riesgo (instantánea) para un T-año es$\Delta t$$T$

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

en el sentido de que la probabilidad aproximada de muerte en el siguiente femtosegundo de un año T es f ( T ) Δ $(\Delta t)$$T$$\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Tenga en cuenta que en contraste con la densidad integra a 1 , la integral ∫ ∞ 0 h ( t $f(t)$$1$ debe divergir. Esto se debe a que el FCDF(t)está relacionado con la tasa de riesgo a través de$\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

y dado que lim t → ∞ F(t)=1, debe ser ese lim t → ∞ ∫ t 0 h(τ

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ $\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$ o dicho de manera más formal, la integral de la tasa de riesgodebedivergir: no existeunadivergenciapotencialcomo se afirmó en una edición anterior. $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$

Las tasas de peligro típicas son funciones crecientes del tiempo, pero son posibles tasas de riesgo constantes (vidas exponenciales). Ambos tipos de tasas de riesgo obviamente tienen integrales divergentes. Un escenario menos común (para aquellos que creen que las cosas mejoran con la edad, como lo hace el buen vino) es una tasa de riesgo que disminuye con el tiempo pero lo suficientemente lentamente como para que la integral diverja.

Imagine que está interesado en la incidencia del (primer) matrimonio para hombres. Para ver la incidencia del matrimonio a los 20 años, por ejemplo, seleccionaría una muestra de personas que no están casadas a esa edad y vería si se casan dentro del próximo año (antes de cumplir 21 años).

Podrías obtener una estimación aproximada de

$$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$$ $$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$$

$$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$$ $T$ $$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$, for a non-married individual. We can write this as

$$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$$

$f(x)$ is not the probability of death, but the probability density; the expected number of times you die within the next unit of time if the probability density remained constant during that unit of time.

Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far. $1-F(t)$ it the probability of having survived until $t$, so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.