Jeffreys antes para múltiples parámetros

En ciertos casos, el Jeffreys anterior para un modelo multidimensional completo generalmente se considera inadecuado, este es, por ejemplo, el caso en: (donde , con y desconocido) donde se prefiere el siguiente prior (al Jeffreys anterior completo ):

y_{i} = μ + ε_{i},

$y_i=\mu + \varepsilon_i \, ,$

ε \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

π (μ, σ) \propto σ^{- 2}

$\pi(\mu,\sigma)\propto \sigma^{-2}$

donde

es el Jeffreys obtenido previamente al mantener

fijo (y de manera similar para

). Este previo coincide con el anterior de referencia cuando se trata

en grupos separados.

p (μ, σ) = π (μ) \cdot π (σ) \propto σ^{- 1},

$p(\mu,\sigma) = \pi(\mu) \cdot \pi(\sigma) \propto \sigma^{-1}\, ,$

π (μ)

$\pi(\mu)$

σ

$\sigma$

p (σ)

$p(\sigma)$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

Pregunta 1: ¿Por qué tratarlos como en grupos separados tiene más sentido que tratarlos en el mismo grupo (lo que resultará, si estoy en lo correcto (?), En el Jeffreys dimensional anterior, ver [1])?

Luego considere la siguiente situación:

y_{i} = g (x_{i}, θ) + ε_{i},

$y_i=g(x_i,\mathbf{\theta}) +\varepsilon_i\, ,$

θ \in R^{n}

$\theta \in \mathbb{R}^n$

ε_{i} \sim N (0, σ^{2})

$\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$

σ

$\sigma$

g

$g$

p (σ, θ) = π (σ) π (θ),

$p(\sigma,\theta)=\pi(\sigma) \pi(\theta) \, ,$

π (σ)

$\pi(\sigma)$

π (θ)

$\pi(\theta)$

$p(\sigma,\theta)$

[1] De https://theses.lib.vt.edu/theses/available/etd-042299-095037/unrestricted/etd.pdf :

Finalmente, notamos que el prior de Jeffreys es un caso especial de un prior de referencia. Específicamente, la prioridad de Jeffreys corresponde a la referencia previa en la que todos los parámetros del modelo se tratan en un solo grupo.

— peuhp
fuente

Creo que te refieres al modelo multivariable, la regresión multivariante está estrictamente hablando reservada para múltiples variables en el lado izquierdo.

— mdewey

$\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}$ $\pi(\theta,\sigma)\propto \dfrac{1}{\sigma}^2$

— Xi'an
fuente

Gracias por tu aporte. No obstante, en mi opinión, Jeffreys antes ofrece algún tipo de optimización en el sentido de que, al menos en la configuración 1d, son los que minimizan una cantidad teórica de información que puede tener sentido y ser discutida (por favor, avíseme si estoy equivocado ) Mi punto es: ¿podemos escribir un "criterio" similar, el procedimiento previo de Jeffreys satisface las dos configuraciones dadas en mi pregunta? De la cita dada en mi pregunta, parece que sí y me gustaría discutir la implicación de elegir este criterio en lugar de otro (desde una perspectiva puramente de TI :)).

— peuhp