Transformada de Fourier de distribuciones

¿Qué distribuciones son su propia transformada de Fourier además de la distribución normal y la distribución de arcoseno generalizada ?

distributions fourier-transform

— Neil G
fuente

Suponga que la transformada de Fourier de es donde donde . La transformación inversa es $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Algunas propiedades de la transformada de Fourier son las siguientes:

La transformada de Fourier de es $X(t)$ $x(-f)$
Si es una función par de de valor real , entonces es una función par de de valor real . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Por lo tanto, si es una función par de de valor real , entonces la transformada de Fourier de la función par de valor real es $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Ahora suponga que es una función de densidad de probabilidad par (de modo que para todo ) con la propiedad adicional de que . Supongamos también que su transformada de Fourier tiene la propiedad de que para todo . Entonces, dado que es una función de valor real incluso no negativa de con área , que es decir, también es una función de densidad de probabilidad con la propiedad de que $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Un ejemplo de este par de funciones es la distribución normal citada por OP Neil G y otro ejemplo es

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Ahora tenga en cuenta que es una densidad de mezcla cuya transformada de Fourier es que es la misma densidad de mezcla. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Por lo tanto, si es una función de densidad cuya transformada de Fourier es una función de densidad, entonces la función de densidad de mezcla es su propia transformada de Fourier. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Finalmente, dadas dos densidades que son sus propias transformadas de Fourier, por ejemplo, y , cualquier densidad de mezcla donde es una función de densidad que es su propia transformada de Fourier. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
fuente

(+1) Esto es bastante inteligente. Cabe señalar que para garantizar un par de transformación válido, necesitamos una condición de integrabilidad en . A saber, garantizará que la inversión indicada recuperará la densidad adecuada. En cierto sentido, empleas esa condición más adelante. (Ya asumí que se ha impuesto la restricción de no negatividad en , por lo que no necesita ningún módulo).

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— Cardenal