Encuadernado en el momento que genera la función

Esta pregunta surge de la que se hace aquí acerca de un límite en las funciones generadoras de momento (MGF).

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria media cero limitada que toma valores en $[-\sigma, \sigma]$ y deja que $G(t) = E[e^{tX}]$ sea su MGF. Desde un ligado utilizado en una prueba de la desigualdad de Hoeffding , tenemos que

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$ donde el lado derecho es reconocible como el MGF de una variable aleatoria normal media cero con desviación estándar

σ

$\sigma$ . Ahora, la desviación estándar de

X

$X$ puede ser mayor que

σ

$\sigma$ , y el valor máximo ocurre cuando

X

$X$ es una variable aleatoria discreta tal que

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Entonces, el límite al que se hace referencia puede considerarse que dice que el MGF de una variable aleatoria limitada a media cero

X

$X$ está limitado anteriormente por el MGF de una variable aleatoria normal promedio a cero cuya desviación estándar es igual a la desviación estándar máxima posible que

X

$X$ puede tener.

Mi pregunta es: ¿es este un resultado bien conocido de interés independiente que se utiliza en otros lugares que no sean la prueba de la desigualdad de Hoeffding, y si es así, también se sabe que se extiende a variables aleatorias con medios distintos de cero?

El resultado que genera esta pregunta permite un rango asimétrico $[a,b]$ para $X$ con $a < 0 < b$ pero insiste en $E[X] = 0$ . La cota es

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$ , donde

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ es la desviación estándar máxima posible para una variable aleatoria con valores restringidos a

[a, b]

$[a,b]$ , pero este máximo no se alcanza con variables aleatorias de media cero a menos que

b = - a

$b = -a$ .

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
fuente

Las variables aleatorias que satisfacen límites en el mgf como la que usted cita se denominan variables aleatorias subgaussianas . Desempeñan un papel central, por ejemplo, en la teoría de la matriz aleatoria no asintótica y algunos resultados asociados en la detección comprimida. Ver, por ejemplo, el enlace en la respuesta aquí . (Obviamente, esto no responde a su pregunta particular, pero es de naturaleza relacionada).

— Cardenal

No puedo responder la primera parte de su pregunta, pero en cuanto a extenderla a variables aleatorias con medios distintos de cero ...

Primero, tenga en cuenta que cualquier rv con rango finito y (necesariamente finita) media puede transformarse en un rv que es, por supuesto, media cero con rango (satisfaciendo así las condiciones en su planteamiento del problema). La variante transformada tiene mgf $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ (por las propiedades básicas de mgf) Multiplicar ambos lados por y aplicar la desigualdad da: $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$

— jbowman
fuente