Distribución de un polinomio de segundo grado de una variable aleatoria gaussiana

Me gustaría calcular

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

donde . Puedo hacerlo con bastante facilidad usando Monte Carlo. Sin embargo, me han pedido que encuentre el pdf analítico de y luego calcule $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

Supongo será tal que sólo puedo ser calculado numéricamente. Sin embargo, dado que es una integral univariante, hay métodos numéricos disponibles para calcularlo con una precisión muy alta. ¿Existe una expresión (relativamente simple) para , para que pueda realizar la integración numérica? ¿O hay otra posibilidad para calcular , aparte de Monte Carlo (que es, en mi opinión, el enfoque más sensato)? $f_Y(y)$ $I$ $f_Y(y)$ $I$

— DeltaIV
fuente

¿Se tiene que encontrar el pdf

Y

$Y$ primero y luego integrarlo sobre la línea real negativa, o puede usar el método señalado por mpiktas que evita encontrar el pdf de

Y

$Y$ ?

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, gracias por la pregunta. Me pidieron específicamente 1. encontrar

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ e 2. integrarse sobre

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$ . Entonces, una respuesta que haga exactamente eso sería genial. Por otro lado, puedo señalar que la solicitud no es razonable y que ya tengo dos métodos muy buenos (MC y @mpiktas) que funcionan bien. Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es: No lo estrictamente tengo que (No me voy a despedir si no lo hacen), pero estoy seguro que sería aprecian la posibilidad de hacerlo (evitando así una nueva discusión con el solicitante) .

— DeltaIV

OK aquí va. Tenga en cuenta que

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$ que se puede expresar en términos de la FCD gaussiana estándar

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ usando el método descrito en la respuesta de @ mpkitas. Tomando la derivada wrt,

y

$y$ luego le dará el pdf

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ . Además, dígale a su solicitante que realmente no necesita_explícitamente_ integrar el pdf para encontrar

I

$I$ ya que

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$ cuyo valor ya has determinado.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ¡fantástico! En otras palabras,

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ en la respuesta de mpkitas se convierten en funciones de

y

$y$ , y luego solo aplico la regla de la cadena para la derivación. ¡Muchas gracias!

— DeltaIV

Tenga en cuenta que $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , dónde $x_1$ y $x_2$ son raíces del polinomio $ax^2+bx+c$ . Debemos asumir que $x_1$ y $x_2$ son reales y no iguales, de lo contrario la probabilidad en cuestión es trivialmente cero o uno.

Tenemos dos casos.

$a>0$ , entonces $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$ .
$a<0$ , entonces $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

Ya que $X$ es normal, las probabilidades se pueden calcular utilizando la función de distribución acumulativa de la variable normal.

— mpiktas
fuente

¡excelente! Y, por supuesto, tenemos expresiones analíticas para

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ (raíces de una ecuación cuadrática), por lo que todo es muy simple. ¡Gracias! PD por supuesto

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ siempre son reales y distintos en mi caso. Olvidé especificar eso.

— DeltaIV

Solución muy inteligente. Estaba a punto de sugerir derivar la distribución de

Y

$Y$ pero totalmente innecesario ¡Bien hecho!

— ramhiser

@ JohnA.Ramey Vea los comentarios sobre la pregunta principal.

— Dilip Sarwate