estimador consistente de root-n, pero root-n no converge?

He escuchado el término "estimador consistente" raíz-n "usado muchas veces. De los recursos que me han indicado, pensé que un estimador consistente "raíz-n" significaba que:

el estimador converge en el valor verdadero (de ahí la palabra "consistente")
el estimador converge a una velocidad de $1/\sqrt{n}$

Esto me desconcierta, ya que $1/\sqrt{n}$ no converge? ¿Me estoy perdiendo algo crucial aquí?

convergence estimators consistency

— Candic3
fuente

Significa

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ) = O_{p} (1)

$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)=O_p(1)$ .

— hejseb

pero

\hat{θ}

$\hat\theta$ es una variable, entonces, ¿cómo calcularías esto?

— Candic3

@hejseb, agradezco su respuesta, gracias. ¿Podría explicarlo con palabras? Me ayuda a poder verbalizar, en lugar de solo mirar símbolos.

— Candic3

¡Buena pregunta! Pero estoy confundido por la afirmación de que

1 / \sqrt{n}

$1/\sqrt n$ no converge, ¿qué quisiste decir con eso?

— Silverfish

Confundes la secuencia

1 / \sqrt{n} = 1 / 1, 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{3}, \dots

$1/\sqrt{n} = 1/1, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, \ldots$ con la serie

\sum_{i = 1}^{n} 1 / \sqrt{k}

$\sum_{i=1}^n 1/\sqrt{k}$ cuyo término general es

1 / 1 + 1 / \sqrt{2} + 1 / \sqrt{3} + \dots + 1 / \sqrt{n}

$1/1 + 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3} + \cdots + 1/\sqrt{n}$ . El primero converge a

0

$0$ como

n

$n$ crece grande mientras que este último diverge. Lo último, sin embargo, es irrelevante.

— whuber

Lo que significa hejseb es que $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$ está "limitado en probabilidad", hablando en términos generales que la probabilidad de que $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$ adquiere valores "extremos" es "pequeño".

Ahora, $\sqrt{n}$ evidentemente diverge al infinito. Si el producto de $\sqrt{n}$ y $(\hat\theta-\theta)$ está acotado, eso debe significar que $(\hat\theta-\theta)$ va a cero en probabilidad, formalmente $\hat\theta-\theta=o_p(1)$ , y en particular al ritmo $1/\sqrt{n}$ si el producto se va a limitar. Formalmente,

\hat{θ} - θ = O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\hat\theta-\theta=O_p(n^{-1/2})$

\hat{θ} - θ = o_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=o_p(1)$ es solo otra forma de decir que tenemos coherencia: el error "desaparece" como

n \to \infty

$n\to\infty$ . Tenga en cuenta que

\hat{θ} - θ = O_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=O_p(1)$ no sería suficiente (ver los comentarios) para mantener la coherencia, ya que eso solo significaría que el error

\hat{θ} - θ

$\hat\theta-\theta$ está acotado, pero no es que vaya a cero.

— Christoph Hanck
fuente

Entonces, para que un estimador sea "consistente", debe tener un

O (1)

$O(1)$ , valor constante, porque si fuera

O (n)

$O(n)$ , entonces la estimación divergiría a medida que n aumenta.

— Candic3

No, no del todo, mira mi edición.

— Christoph Hanck