¿Qué es una matriz de covarianza isotrópica (esférica)?

¿Podría alguien explicarme en términos simples qué es una matriz de covarianza isotrópica? No puedo encontrar nada en línea.

terminology covariance-matrix definition

— prueba
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Una matriz de covarianza se llama isotrópica , o esférica , si es proporcional a la matriz de identidad: es decir, es diagonal y todos los elementos en la diagonal son iguales. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Esta definición no depende del sistema de coordenadas; si rotamos el sistema de coordenadas con una matriz de rotación ortogonal , entonces la matriz de covarianza se transformará en es decir, permanecerá igual. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuitivamente, la matriz de covarianza isotrópica corresponde a una nube de datos "esférica". Una esfera sigue siendo una esfera después de la rotación.

— ameba
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¿Qué sucede si las variables se pueden rotar para llegar a la matriz de covarianza ?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@ Aksakal Ver actualización.

— ameba

+1. Pero curiosamente, una definición completamente diferente de "isotrópico" también se aplica a porque, como es habitual con las matrices de covarianza, representa una forma cuadrática en un espacio vectorial real. ¡Pero en este otro sentido, la única matriz de covarianza isotrópica es la matriz cero!

C

$C$

— whuber

@whuber ¡Interesante! No recordaba que existe una noción de formas cuadráticas "isotrópicas". Pero leyendo la definición ahora, ¿no sería una matriz de covarianza con al menos un valor propio cero "isotrópica" en ese sentido?

— ameba

Tienes razón: especifiqué mal el cuantificador. Por definición, una forma cuadrática isotrópica tiene al menos un vector isotrópico distinto de cero (en lugar de que todos los vectores sean isotrópicos).

— whuber

La covarianza es solo una función de. Puedes encontrar una definición allí . $|x - x'|$

Editar: lo siento, leí mal, para matrix, la respuesta correcta es la de ameba.

— mic
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Las preguntas se refieren a la matriz de covarianza . Por supuesto, una matriz puede verse como una función, pero supongo que esto requiere cierta elaboración para el OP.

— ameba