Distribución de tipo normal sobre un área delimitada

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¿Existe una distribución que se asemeje a la distribución gaussiana (normal), pero tal que su densidad de probabilidad no sea cero solo en un segmento definido.

La pregunta surgió cuando traté de modelar la 'propagación de bala' dentro de un círculo. La distribución gaussiana funciona bien, pero siempre existe la posibilidad de que la bala golpee fuera del círculo. Entonces, me gustaría encontrar una distribución muy similar a la gaussiana, pero con la propiedad de que la probabilidad fuera del segmento (o círculo) definido es cero.

EDITAR: Sí, en realidad me refiero a un disco, no a un círculo. EDITAR: Y sí, solo necesito una distribución unidimensional (a lo largo del radio de un disco) que será circular-simétrica (no depende del ángulo).

distributions normal-distribution modeling

— mbaitoff
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Aquí hay una pregunta estrechamente relacionada (aunque, tal vez, con respuestas poco satisfactorias): math.stackexchange.com/questions/62003/…

— cardenal

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Parece que está interesado en las distribuciones en un disco (en lugar de hacerlo en un círculo), aunque no está claro por qué en su modelo una bala disparada no podría caer fuera del disco.

— cardenal

Podría ser un modelo de cómo se ve la distribución de las balas que realmente caen en el disco.

— Dason

En mi modelo, el disco representa la "zona de impacto" que se reduce si se gasta más tiempo para "apuntar". Sería muy frustrante para un jugador de juegos de computadora, por ejemplo, que su disparo cayera fuera del disco cuando pasara más tiempo "apuntando".

— mbaitoff

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Solo quería identificar más de cerca su interés exacto. Muchas veces es considerablemente más fácil tomar muestras de una distribución que trabajar analíticamente. Por ejemplo, en el caso normal truncado, hay una manera simple de muestrear (es decir, muestreo de rechazo) que no requiere conocimiento o uso en absoluto de la constante de normalización. (Sin embargo, puede existir mejores esquemas dependiendo del caso específico que nos ocupa.)

— cardenal

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Podría usar una distribución normal truncada. Es solo una distribución normal para la que solo considera un intervalo. Necesita reescalarlo para asegurarse de que el pdf se integre a 1. Pero esto me parece exactamente lo que está buscando.

— Razón
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El PDF de la distribución normal truncada es muy complejo. Me pregunto si simplemente "reduzco" el DPF de la distribución normal con una ventana suave, como la reducción del coseno, y vuelvo a escalar para obtener una unidad integral.

— mbaitoff

1

@mbaitoff: en términos de muestreo de una distribución truncada en un disco, eso se puede hacer con bastante facilidad mediante el muestreo de rechazo u otros métodos. Si desea que la distribución se centre en el origen y sea circularmente simétrica, entonces solo se necesita una muestra de una distribución única (por ejemplo, en el disco de la unidad ) y luego volver a escalar adecuadamente.

— cardenal

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La distribución de VonMises es similar a la normal, pero se usa con datos circulares y se define solo en el intervalo de un círculo (0-360 grados o 0-2pi radianes).

La distribución Beta se define de 0 a 1 (pero podría escalarse a otros intervalos), con los parámetros iguales es simétrica y para muchos valores en forma de campana.

— Greg Snow
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1

Estas son buenas sugerencias, particularmente las de von Mises, pero parece que el OP está más interesado en distribuciones en un disco de un radio dado.

— cardenal

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Podía usar los VonMises para el ángulo y la Beta para el radio. Independientemente el uno del otro, o los parámetros de la beta podrían depender del ángulo.

— Greg Snow

1

Quizás estoy equivocado, pero parece que el OP probablemente esté buscando algo que produzca una distribución de fase uniforme. El von Mises parece estar orientado a aplicaciones relacionadas con la sincronización de fase. Parecería un poco extraño que la fase de la bala sea más probable que sea cero que, por ejemplo,

π / 2

$\pi/2$ , a menos que haya algún sesgo en la ubicación media en relación con el origen. Dicho esto, es una buena característica que la distribución uniforme esté contenida dentro de la clase von Mises.

— cardenal

Bueno, para obtener una distribución uniforme dentro del círculo, ¡una distribución uniforme en el ángulo junto con una distribución triangular para el radio debería funcionar!

— kjetil b halvorsen

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Esta es una vieja pregunta, pero sigue siendo relevante para los nuevos lectores. Me sorprende que nadie haya mencionado la distribución de Coseno Elevado .

Con media $\mu$ y parámetro de propagación $s$ está perfectamente delimitado en $[\mu - s, \mu + s]$ y su función de densidad de probabilidad (PDF) también tiene una curva en forma de campana.

— plasmacel
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¿Pero tiene una versión bidimensional (en el plano)?

— kjetil b halvorsen

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@kjetilbhalvorsen No lo sé, pero ninguna de las respuestas aquí presentó una solución multivariante.

— plasmacel

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+1 para la respuesta de muestreo de rechazo.

¿Podría también probar de la distribución Beta donde $\alpha$ (aka shape1) es 1 y $\beta \gt 1$ (aka shape2)? Esto se define en [0,1], así que multiplíquelo por el radio del disco y tendrá cero probabilidad de seleccionar puntos en el radio o más.

Los aspectos positivos incluyen: a) hay una probabilidad cero de seleccionar una distancia mayor o igual al radio, yb) puede hacer un muestreo directo en lugar de cosas como el muestreo de rechazo.

Las desventajas incluyen: a) es inquietante cerca de 0 yb) la distribución no es "muy similar" a la gaussiana. (Es mucho más alto cerca de 0, es decir, en el centro, que el gaussiano, aunque eso podría ser lo que quiere el OP).

— Wayne
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Parece que lo que se busca es una distribución uniforme en un disco, que consideraré (el interior de) el círculo unitario. Podemos parametrizar por $(r,\theta)$ entonces tenemos $0 \le r \le 1$ y $0 \le \theta \le 2\pi$ . Podemos dejar $\theta$ tener una distribución uniforme, independiente de $R$ , y debe encontrar la distribución de $R$ eso da una distribución uniforme en el círculo. Como la probabilidad debe ser proporcional al área, tenemos para $0 \le a \le b \le 1$ ese

P (a \leq R \leq b) \propto π b^{2} - π a^{2}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$ y tomando

a = 0

$a=0$ ,

b = 1

$b=1$ da

F_{R} (r) = r^{2}

$F_R(r)= r^2$ . Entonces la densidad es la derivada

f_{R} (r) = 2 r

$f_R(r)=2r$ . La densidad conjunta de

R

$R$ y

θ

$\theta$ entonces se convierte

f (r, θ) = \frac{1}{2 π} \cdot 2 r = \frac{r}{π}

$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$ Esto es fácil de simular, la suma de dos uniformes independientes tiene una distribución triangular (y simétrica), a veces descrita como una distribución "carpa". Solo queremos la parte izquierda de la tienda, que podemos obtener reflejando la distribución en una línea vertical en la parte superior (modo) de la tienda. Simulando esto en R da:

El código R para la simulación es:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Tenga en cuenta que este es un caso especial de la antigua respuesta de @Greg Snow, ya que la distribución "carpa izquierda" es una distribución beta con parámetros $a=2, b=1$ . Pero el código anterior para simularlo es probablemente más rápido que el código general para simular desde una versión beta (o lo sería si estuviera programado en C).

— kjetil b halvorsen
fuente