¿Probar la relación entre la distancia de Mahalanobis y el apalancamiento?

He visto fórmulas en Wikipedia. que relacionan la distancia y el apalancamiento de Mahalanobis:

La distancia de Mahalanobis está estrechamente relacionada con la estadística de apalancamiento, , pero tiene una escala diferente: $h$
$D^{2} = (N - 1) (h - \frac{1}{N}) .$ $D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}).$

En un artículo vinculado , Wikipedia describe en estos términos: $h$

En el modelo de regresión lineal, la puntuación de apalancamiento para la unidad de datos se define como: el elemento diagonal de la matriz de sombreros , donde denota la transposición de la matriz. $i^{th}$
$h_{i i} = (H)_{i i},$ $h_{ii}=(H)_{ii},$ $i^{th}$ $H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}$ $^{\top}$

No puedo encontrar una prueba en ningún lado. Traté de comenzar con las definiciones pero no puedo hacer ningún progreso. ¿Alguien puede dar alguna pista?

— dave2d
fuente

¿Mi descripción de la distancia de Mahalanobis en la explicación de abajo a arriba de la distancia de Mahalanobis? incluye dos resultados clave:

Por definición, no cambia cuando los regresores se desplazan uniformemente.
La distancia al cuadrado de Mahalanobis entre los vectores e viene dada por donde es la covarianza de los datos. $x$ $y$
$D^{2} (x, y) = (x - y)^{'} Σ^{- 1} (x - y)$ $D^2(x,y) = (x-y)^\prime \Sigma^{-1}(x-y)$ $\Sigma$

(1) nos permite asumir que los medios de los regresores son todos cero. Queda por calcular . Sin embargo, para que la afirmación sea cierta, necesitamos agregar una suposición más: $h_i$

El modelo debe incluir una intercepción.

Teniendo esto en cuenta, deje que haya regresores datos, escribiendo el valor del regresor para la observación como . Deje el vector columna de estos valores para regresor escribirse y el vector fila de estos valores para la observación escribirse . Entonces la matriz modelo es $k \ge 0$ $n$ $j$ $i$ $x_{ij}$ $n$ $j$ $\mathbf{x}_{,j}$ $k$ $i$ $\mathbf{x}_i$

X = (\begin{matrix} 1 & x_{11} & \dots & x_{1 k} \\ 1 & x_{21} & \dots & x_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n 1} & \dots & x_{n k} \end{matrix})

$X = \pmatrix{ 1 &x_{11} &\cdots &x_{1k} \\ 1 &x_{21} &\cdots &x_{2k} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 &x_{n1} &\cdots &x_{nk}}$

y, por definición, la matriz del sombrero es

H = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'},

$H = X(X^\prime X)^{-1} X^\prime,$

de donde la entrada a lo largo de la diagonal es $i$

\begin{matrix} (1) & h_{i} = h_{i i} = (1; x_{i}) (X^{'} X)^{- 1} (1; x_{i})^{'} . \end{matrix}

$h_i = h_{ii} = (1; \mathbf{x}_i) (X^\prime X)^{-1} (1; \mathbf{x}_i)^\prime.\tag{1}$

No tiene nada más que resolver esa matriz inversa inversa, pero en virtud del primer resultado clave, es fácil, especialmente cuando lo escribimos en forma de matriz de bloque:

X^{'} X = n (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C \end{matrix})

$X^\prime X = n\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C}$

donde y $\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)^\prime$

C_{j k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} = \frac{n - 1}{n} Cov (x_{j}, x_{k}) = \frac{n - 1}{n} Σ_{j k} .

$C_{jk} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} = \frac{n-1}{n}\operatorname{Cov}(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k) = \frac{n-1}{n}\Sigma_{jk}.$

(He escrito para la matriz de covarianza de muestra de los regresores). Debido a que esta es una diagonal de bloque, su inverso se puede encontrar simplemente invirtiendo los bloques: $\Sigma$

(X^{'} X)^{- 1} = \frac{1}{n} (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C^{- 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) .

$(X^\prime X)^{-1} = \frac{1}{n}\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C^{-1}} = \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}.$

De la definición obtenemos $(1)$

\begin{aligned} h_{i} & = (1; x_{i}) (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) (1; x_{i})^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} x_{i} Σ^{- 1} x_{i}^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} D^{2} (x_{i}, 0) . \end{aligned}

$\eqalign{ h_i &= (1; \mathbf{x}_i) \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}(1; \mathbf{x}_i)^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}\mathbf{x}_i \Sigma^{-1}\mathbf{x}_i^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0}). }$

Resolviendo para la longitud cuadrada de Mahalanobis produce $D_i^2 = D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0})$

D_{i}^{2} = (n - 1) (h_{i} - \frac{1}{n}),

$D_i^2 = (n-1)\left(h_i - \frac{1}{n}\right),$

QED .

Mirando hacia atrás, es posible distinguir el término aditivo a la presencia de una intercepción, que introdujo la columna de unos en la matriz de modelo . El término multiplicativo apareció después de suponer que la distancia de Mahalanobis se calcularía utilizando la estimación de covarianza de muestra (que divide las sumas de cuadrados y productos por ) en lugar de la matriz de covarianza de los datos (que divide la suma de cuadrados y productos por ). $1/n$ $X$ $n-1$ $n-1$ $n$

El valor principal de este análisis es el de impartir una interpretación geométrica de la palanca, que mide la cantidad de un cambio unitario en la respuesta a la observación va a cambiar el valor ajustado en el que la observación: observaciones de gran influencia son a grandes distancias de Mahalanobis desde el centroide de los regresores, exactamente como una palanca mecánicamente eficiente opera a una gran distancia de su punto de apoyo. $i$

Código R para mostrar que la relación tiene:

x <- mtcars

# Compute Mahalanobis distances
h <- hat(x, intercept = TRUE); names(h) <- rownames(mtcars)
M <- mahalanobis(x, colMeans(x), cov(x))

# Compute D^2 of the question
n <- nrow(x); D2 <- (n-1)*(h - 1/n)

# Compare.
all.equal(M, D2)               # TRUE
print(signif(cbind(M, D2), 3))

— whuber
fuente

Excelente respuesta, muy completa con rigor e intuición. ¡Salud!

— cgrudz

Gracias por la publicación @whuber! Para verificar la cordura, aquí hay un código R para mostrar que la relación realmente es válida: x <- mtcars rownames (x) <- NULL colnames (x) <- NULL n <- nrow (x) h <- hat (x, T) mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)) (n-1) * (h - 1 / n) all.equal (mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)), (n-1 ) * (h - 1 / n))

— Tal Galili

@Tal No pensé que necesitaba un control de cordura, pero gracias por el código. :-) He realizado modificaciones para aclararlo un poco y su salida.

— whuber

@whuber, quería un ejemplo que muestre cómo hacer que funcione la igualdad (dejándome claro que entendí bien las suposiciones). También he extendido la entrada Wiki relevante: en.wikipedia.org/wiki/… (siéntase libre de gastar allí también, como mejor le parezca :))

— Tal Galili