Intervalo de confianza del tercer momento de distribución normal.

¿Cómo calcular el intervalo de confianza exacto para el tercer momento de distribución normal ? $N(a, \sigma^2)$

— Lilith
fuente

No, solo . Por preciso quiero decir que ese intervalo debe ser tal que , no

E X^{3}

$E X^3$

P (A < a^{3} + 3 a σ^{2} < B) = α

$P(A < a^3 + 3a\sigma^2 < B) = \alpha$

\geq α

$\ge \alpha$

— Lilith

Si te refieres a un intervalo de confianza exacto, entonces creo que podría no ser posible, debido a este projecteuclid.org/euclid.aop/1176991795 .

— Greenparker

@Greenparker, ¿por qué para X Normal es indeterminado? Hay otras distribuciones con la misma colección infinita de momentos, ¿implica que un intervalo de confianza exacto no sería (o podría no ser posible) para ? Por ejemplo, ¿no podemos producir intervalos de confianza exactos para (la media de) un Lognormal (también indeterminado), incluso aunque haya infinitas distribuciones alternativas que poseen los mismos momentos?

X^{3}

$X^3$

X^{3}

$X^3$

— Mark L. Stone

@gung el tercer momento central no es lo mismo que la asimetría (momento). Tendrías que dividir por

σ^{3}

$\sigma^3$ primero.

— Glen_b -Reinstalar Monica

@Greenparker Ese documento no implica que no se pueda calcular la distribución de

X^{3}

$X^3$ ; "indeterminado" significa algo muy específico (sobre la unicidad de los momentos de

X^{3}

$X^3$ ) [En un tema diferente, me sorprende que se haya publicado un artículo con un error tan atroz en el título sin ser reparado. No es la distribución la que está en cubos, sino la variable aleatoria. ¿Qué pueden haber estado pensando los editores?]

— Glen_b -Reinstalar Monica

Para encontrar un intervalo de confianza para esta cantidad, deberá formar una cantidad fundamental que utilice el tercer momento bruto como su único parámetro desconocido. Es posible que no sea posible hacer esto exactamente, pero generalmente puede obtener algo que es una cantidad aproximadamente fundamental que se puede usar para formar un intervalo de confianza aproximado. Para hacer esto, primero encontraremos la forma del tercer momento bruto que se está estimando, luego construiremos un estimador de muestra de este momento, y luego trataremos de usar esto para construir una cantidad cuasi-pivotal y el intervalo de confianza resultante.

¿Cuál es el tercer momento bruto de una distribución normal? Tomar $X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$ ser una variable aleatoria normal aleatoria y definir $Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$ . El tercer momento crudo de $X$ es:

\begin{aligned} μ_{3} \equiv mi (X^{3}) & = mi ((μ + Y)^{3}) \\ = mi (Y^{3} + 3 μ Y^{2} + 3 μ^{2} Y + μ^{3}) \\ = 0 0 + 3 μ σ^{2} + 0 0 + μ^{3} \\ = 3 μ σ^{2} + μ^{3} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Este es el parámetro que está tratando de estimar en su análisis.

Estimador imparcial del tercer momento bruto: normalmente, estimaríamos el parámetro medio con la media muestral y el parámetro de varianza con la varianza muestral, pero en este caso queremos estimar una función de estas cosas, y es probable que la sustitución de estos estimadores conducir a un estimador sesgado. Comenzaremos tratando de encontrar un estimador imparcial del tercer momento bruto. Para hacer esto, comenzamos señalando que:

\begin{aligned} mi ({\bar{X}}_{norte}^{3}) & = mi ((μ + {\bar{Y}}_{norte})^{3}) \\ = mi ({\bar{Y}}_{norte}^{3} + 3 μ {\bar{Y}}_{norte}^{2} + 3 μ^{2} {\bar{Y}}_{norte} + μ^{3}) \\ = 0 0 + 3 μ \frac{σ^{2}}{norte} + 0 0 + μ^{3} \\ = \frac{3}{norte} μ σ^{2} + μ^{3} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Sabemos por el teorema de Cochran que la media muestral y la varianza muestral de los datos normales son independientes, por lo que también tenemos $\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$ . Por lo tanto, en base a estos resultados, podemos formar el estimador imparcial :

{\hat{μ}}_{3} = \frac{3 (norte - 1)}{norte} \cdot {\bar{X}}_{norte} S^{2} + {\bar{X}}_{norte}^{3} .

$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$

Variación del estimador: Sabemos que el valor esperado de este estimador es igual al tercer momento bruto de la distribución (para ver esto, simplemente sustituya las expresiones de valor esperadas anteriores), sin embargo, la varianza del estimador es laboriosa de derivar. Como resultados preliminares tenemos:

\begin{aligned} V ({\bar{X}}_{norte} S^{2}) & = V ({\bar{X}}_{norte}) V (S^{2}) \\ = \frac{1}{norte} σ^{2} \cdot \frac{2}{norte - 1} σ^{4 4} \\ = \frac{2}{norte (norte - 1)} σ^{6 6}, \\ V ({\bar{X}}_{norte}^{3}) & = mi ({\bar{X}}_{norte}^{6 6}) - mi ({\bar{X}}_{norte}^{3})^{2} \\ = (\frac{15}{{norte}^{3}} σ^{6 6} + \frac{45}{{norte}^{2}} μ^{2} σ^{4 4} + \frac{15}{norte} μ^{4 4} σ^{2} + μ^{6 6}) - (\frac{3}{norte} μ σ^{2} + μ^{3})^{2} \\ = (\frac{15}{{norte}^{3}} σ^{6 6} + \frac{45}{{norte}^{2}} μ^{2} σ^{4 4} + \frac{15}{norte} μ^{4 4} σ^{2} + μ^{6 6}) - (\frac{9 9}{{norte}^{2}} μ^{2} σ^{4 4} + \frac{6 6}{norte} μ^{4 4} σ^{2} + μ^{6 6}) \\ = \frac{15}{{norte}^{3}} σ^{6 6} + \frac{36}{{norte}^{2}} μ^{2} σ^{4 4} + \frac{9 9}{norte} μ^{4 4} σ^{2}, \\ C ({\bar{X}}_{norte} S^{2}, {\bar{X}}_{norte}^{3}) & = mi ({\bar{X}}_{norte}^{4 4} S^{2}) - mi ({\bar{X}}_{norte} S^{2}) mi ({\bar{X}}_{norte}^{3}) \\ = mi ({\bar{X}}_{norte}^{4 4}) mi (S^{2}) - mi ({\bar{X}}_{norte}) mi ({\bar{X}}_{norte}^{3}) mi (S^{2}) \\ = (\frac{3}{{norte}^{2}} σ^{4 4} + \frac{6 6}{norte} μ^{2} σ^{2} + μ^{4 4}) σ^{2} - μ (\frac{3}{norte} μ σ^{2} + μ^{3}) σ^{2} \\ = (\frac{3}{{norte}^{2}} σ^{4 4} + \frac{6 6}{norte} μ^{2} σ^{2} + μ^{4 4}) σ^{2} - (\frac{3}{norte} μ^{2} σ^{2} + μ^{4 4}) σ^{2} \\ = (\frac{3}{{norte}^{2}} σ^{4 4} + \frac{3}{norte} μ^{2} σ^{2}) σ^{2} \\ = \frac{3}{{norte}^{2}} σ^{6 6} + \frac{3}{norte} μ^{2} σ^{4 4} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Esto nos da la varianza:

\begin{aligned} V ({\hat{μ}}_{3}) & = V (\frac{3 (norte - 1)}{norte} \cdot {\bar{X}}_{norte} S^{2} + {\bar{X}}_{norte}^{3}) \\ = \frac{9 9 (norte - 1)^{2}}{{norte}^{2}} \cdot V ({\bar{X}}_{norte} S^{2}) + V ({\bar{X}}_{norte}^{3}) + \frac{3 (norte - 1)}{norte} \cdot C ({\bar{X}}_{norte} S^{2}, {\bar{X}}_{norte}^{3}) \\ = \frac{18 años (norte - 1)}{{norte}^{3}} σ^{6 6} + (\frac{15}{{norte}^{3}} σ^{6 6} + \frac{36}{{norte}^{2}} μ^{2} σ^{4 4} + \frac{9 9}{norte} μ^{4 4} σ^{2}) + (\frac{9 9 (norte - 1)}{{norte}^{3}} σ^{6 6} + \frac{9 9 (norte - 1)}{{norte}^{2}} μ^{2} σ^{4 4}) \\ = \frac{27 norte - 12}{{norte}^{3}} \cdot σ^{6 6} + \frac{9 9 norte + 27}{{norte}^{2}} \cdot μ^{2} σ^{4 4} + \frac{9 9}{norte} \cdot μ^{4 4} σ^{2} \\ = \frac{3}{{norte}^{3}} [(9 9 norte - 4 4) σ^{6 6} + (3 {norte}^{2} + 9 9 norte) μ^{2} σ^{4 4} + 3 {norte}^{2} μ^{4 4} σ^{2}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Formando un intervalo de confianza: a partir de los resultados anteriores, podemos obtener un estimador imparcial para el tercer momento bruto, con varianza conocida. La distribución exacta de este estimador es complicada, y su densidad no puede expresarse en forma cerrada. Es posible formar una cantidad estudiada con este estimador, aproximar su distribución y tratarla como una cantidad cuasi-pivotal para obtener un intervalo de confianza aproximado. Sin embargo, esto no sería un intervalo de confianza exacto.

— Ben - Restablece a Monica
fuente