¿Debería considerarse la función delta de Dirac como una subclase de la distribución gaussiana?

En Wikidata es posible vincular distribuciones de probabilidad (como todo lo demás) en una ontología, por ejemplo, que la distribución t es una subclase de la distribución t no central, ver, por ejemplo,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Existen varios casos limitantes, por ejemplo, cuando los grados de libertad en la distribución t llegan al infinito o cuando la varianza se aproxima a cero para la distribución normal (distribución gaussiana). En el último caso, la distribución irá hacia la función delta de Dirac.

Observo que en la Wikipedia en inglés el parámetro de varianza se establece actualmente como mayor que cero, por lo que con una interpretación estricta no se diría que la función delta de Dirac es una subclase de la distribución normal. Sin embargo, me parece bastante bien, ya que diría que la distribución exponencial es una superclase de la función delta de Dirac.

¿Hay algún problema al afirmar que la función delta de Dirac es una subclase de la distribución gaussiana?

distributions normal-distribution dirac-delta

— Finn Årup Nielsen
fuente

Si dirac delta es una subclase de gaussiana, entonces su curtosis debe ser 3, ¿verdad?

— Aksakal

Supongo que si consideramos el delta de Dirac como una subclase de varias distribuciones de probabilidad, entonces la curtosis es inconsistente para el Delta de Dirac. Habla en contra de considerar el delta de Dirac como una subclase de cualquiera de estas distribuciones.

— Finn Årup Nielsen

En el contexto de probabilidad, delta se describe como una función generalizada. No es una función ordinaria

— Aksakal

Respuestas:

El delta de Dirac es considerado como una distribución gaussiana cuando es conveniente hacerlo, y no tan considerado cuando este punto de vista requiere que hagamos excepciones.

Por ejemplo, se dice que disfrutan de un multivariante distribución de Gauss si es una variable aleatoria gaussiana para todas las opciones de números reales . (Nota: esta es una definición estándar en las estadísticas "avanzadas"). Como una opción es $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , la definición estándar trata la constante (una variable aleatoria degenerada) como una variable aleatoria gaussiana (con media y varianza ). Por otro lado, ignoramos nuestra consideración por el delta de Dirac como una distribución gaussiana cuando consideramos algo como $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"La función de distribución de probabilidad acumulativa (CDF) de una variable aleatoria gaussiana de media cero con desviación estándar es $\sigma$ dondees el CDF de una variable aleatoria gaussiana estándar ".

F_{X} (X) = PAG {X \leq X} = Φ (\frac{X}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

Tenga en cuenta que esta afirmación es casi correcta pero no del todo correcta si consideramos el delta de Dirac como el caso límite de una secuencia de variables aleatorias gaussianas de media cero cuya desviación estándar se aproxima a (y, por lo tanto, como una variable aleatoria gaussiana). El CDF del delta de Dirac tiene valor para mientras que $0$ $1$ $x \geq 0$ Pero, mucha gente te dirá que considerar un delta de Dirac como una distribución gaussiana no tiene sentido ya que su libro dice que la varianza de una variable aleatoria gaussiana debe ser un número positivo ( y algunos votarán esta respuesta para mostrar su disgusto). Hubo una discusión muy vigorosa e iluminadora de este punto hace unos años sobre las estadísticas. SE, pero desafortunadamente fue solo en los comentarios sobre una respuesta (por @Macro, creo) y no como respuestas individuales, y no puedo encontrarla nuevamente. .

lim_{σ \to 0 0} Φ (\frac{X}{σ}) = {\begin{cases} 0 0, & X < 0 0, \\ \frac{1}{2}, & X = 0 0, \\ 1, & X > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$

— Dilip Sarwate
fuente

+1. No estoy seguro de que haya un problema con respecto al CDF, porque creo que el valor límite de una secuencia de CDF en cualquier salto del límite no importa. Hay dos formas de ver eso. Una es notar que su fórmula limitante no es un CDF válido (no es cadlag). Otra es notar que obtienes una distribución de Dirac en

cuando dejas

simultáneamente, pero puedes lograr que el valor límite de

sea cualquier cosa entre

(o no tener un límite en absoluto).

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

La conversación a la que hace referencia sucedió en los comentarios de esta respuesta , aunque sinceramente espero que para la mayoría de los lectores la discusión no parezca demasiado vigorosa. (+1)

— cardenal

@cardinal Profundo conocimiento de nuestra comunidad. ¡Bien hecho!

— Matthew Drury

Las funciones delta se ajustan a una teoría matemática de las distribuciones (que es bastante distinta de la teoría de las distribuciones de probabilidad , la terminología aquí no podría ser más confusa).

Esencialmente, las distribuciones son funciones generalizadas. No pueden evaluarse como una función, pero pueden integrarse. Más precisamente, una distribución se define de la siguiente manera $D$

Sea la colección de funciones de prueba . Una función de prueba es una función verdadera, honesta con Dios, suave y con soporte compacto. Una distribución es un mapeo lineal $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Una función honesta determina una distribución por parte del operador de integración. $f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} F (X) θ (X) re X

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

Hay distribuciones que no están asociadas a funciones verdaderas, el operador dirac es una de ellas.

δ (θ) = θ (0 0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

En este sentido, puede considerar el dirac como un caso limitante de las distribuciones normales. Si es la familia de pdf de distribuciones normales con media cero y varianza , entonces para cualquier función de prueba $N_t$ $t$ $\theta$

θ (0 0) = lim_{t \to 0 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} {norte}_{t} (X) θ (X) re X

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

Esto probablemente se expresa más comúnmente como

θ (0 0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (X) θ (X) re X = lim_{t \to 0 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} {norte}_{t} (X) θ (X) re X

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

$\delta(x)$

Por supuesto, si esto convierte al dirac en un miembro de la familia de distribuciones normales es una cuestión cultural. Aquí solo estoy dando una razón por la cual puede tener sentido considerarlo así.

— Matthew Drury
fuente

Si bien estoy de acuerdo con sus declaraciones, creo que esto implica lo contrario. Una función delta no es un subconjunto de gaussianos. Así como un límite de funciones continuas no necesita ser una función continua.

— seanv507

@ seanv507 ¡Hice todo lo posible para no establecer una conclusión de ninguna manera!

— Matthew Drury

Pensé que las distribuciones son muy parecidas a las distribuciones de probabilidad, con una distribución delta de Dirac (probabilidad) que indica una variable determinista ...

— user541686

Si no escribe los límites de las integrales, pueden confundirse las integrales indefinidas. Además, esta oración no tiene sentido: "Una función de prueba θ es una función verdadera, honesta con Dios, suave, con soporte compacto".

— ogogmad

@jkabrg ¿Por qué no tiene sentido? Desde que lo escribí, es difícil para mí ver que no tiene sentido.

— Matthew Drury

-1

No. No es una subclase de distribución normal.

Creo que la confusión proviene de una de las representaciones de la función de Dirac. Recuerde que se define de la siguiente manera:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (X) re X = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (X) = 0 0, \forall X \neq 0 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

δ (X) = lim_{σ \to 0 0} \frac{{mi}^{\frac{- X^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

δ (X) = \frac{1}{2 π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} {mi}^{yo k X}, \forall X \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

Por lo tanto, es mejor pensar en la función de Dirac en términos de su definición integral, y tomar las representaciones de funciones, como la gaussiana, como herramientas de conveniencia.

ACTUALIZACIÓN Al punto de @ whuber, un mejor ejemplo es esta representación del delta de Dirac:

δ (X) = lim_{σ \to 0 0} \frac{{mi}^{- \frac{El | X El |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

¿Te parece distribución laplaciana ? ¿No deberíamos considerar entonces el delta de Dirac como una subclase de distribución laplaciana?

— Aksakal
fuente

En algún momento de esta respuesta, parece que pasa de hablar de distribuciones a discutir "funciones". La pregunta se refiere explícitamente a "distribuciones de probabilidad". En general, estos no están dados por las funciones de densidad, pero siempre pueden estar dados por su función de distribución. La distribución de un átomo, el "delta de Dirac", encaja perfectamente con todas las otras distribuciones gaussianas como un caso limitante. (¡En la configuración de Matthew Drury, se define como ese límite!) Su argumento parece similar a afirmar que, por ejemplo, los círculos no son elipses. Hacer cumplir tales excepciones no parece constructivo.

— whuber

@whuber, ¿qué es la "distribución de un átomo"?

— Aksakal

Un "átomo" es un conjunto de probabilidades en un solo punto. De manera equivalente, la distribución de cualquier variable aleatoria es constante en casi todas partes.

— whuber

@whuber, Oh, estaba pensando en un átomo físico. No, mi punto es que el delta de Dirac no es una subclase de gaussiana, porque también puede ser representada por laplacianos como distribuciones

— Aksakal

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber