Intervalo de confianza para la mediana

Tengo un conjunto de valores ${x_i}, i=1, \dots ,N$ de los cuales calculo la mediana M. Me preguntaba cómo podría calcular el error en esta estimación.

En la red descubrí que se puede calcular como $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ dónde $\sigma$ es la desviación estándar Pero no encontré referencias al respecto. Así que no entiendo por qué ... ¿Alguien podría explicarme?

Estaba pensando que podría usar bootstrap para tener una estimación del error, pero me gustaría evitarlo porque ralentizaría mucho mi análisis.

También estaba pensando en calcular el error en la mediana de esta manera

δ M = \sqrt{\frac{\sum_{i} (x_{i} - M)^{2}}{N - 1}}

$\delta M = \sqrt{ \frac{\sum_i(x_i - M)^2}{N-1} }$

¿Tiene sentido?

— Shamalaia
fuente

¿Sabes con absoluta certeza que los datos se distribuyen normalmente?

— gung - Restablece a Monica

son lognormales

— shamalaia

Bootstrap debería funcionar y no podría llevar mucho tiempo. O tiene un conjunto de datos lo suficientemente completo y no necesita hacer un arranque, simplemente tome la mediana de su variable como una buena estimación de la mediana real. O tiene un conjunto de datos bastante pequeño y podría usar bootstrap para estimar una mediana con su error de margen en un tiempo no excesivo.

— YCR

Está buscando MAD en.wikipedia.org/wiki/Median_absolute_deviation , consulte también stats.stackexchange.com/questions/122001/… o stats.stackexchange.com/questions/21103/…

— Tim

En mi publicación aparece información extensa sobre la distribución de la mediana en stats.stackexchange.com/a/86804/919 . Desarrolla la teoría necesaria para los intervalos de confianza de aproximación normal y no paramétrica.

— whuber

Respuestas:

Para lidiar directamente con el error en la mediana, puede usar el intervalo de confianza no paramétrico exacto para la mediana, que usa estadísticas de pedido. Si desea algo diferente, es decir, una medida de dispersión, considere la diferencia de medias de Gini. El código está aquí para el intervalo de confianza de la mediana.

— Frank Harrell
fuente

En realidad estaba considerando usar un análogo del coeficiente de Gini:

S_{n} = c * m e d_{j} (m e d_{j} | x_{i} - x_{j} |)

$S_n=c * med_j (med_j |x_i-x_j|)$ según lo definido por Rousseeuw y Croux ( web.ipac.caltech.edu/staff/fmasci/home/astro_refs/… ).

— shamalaia

La mediana debe tener un error asimétrico si la distribución de datos es asimétrica.

— Frank Harrell

Como se señaló en la otra respuesta, existe un IC no paramétrico para la mediana que utiliza las estadísticas de orden. Ese CI es mejor en muchos aspectos que lo que encontró en la red.

Ahora, si debes saber dónde $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ El factor proviene, la respuesta es de la distribución asintótica de la mediana. Si denotamos la mediana de la muestra por $\tilde{\theta}$ y la mediana de la población por $\theta$ entonces se puede demostrar que

\sqrt{n} (\tilde{θ} - θ) \overset{L}{\to} N (0, \frac{1}{4 {[f (θ)]}^{2}})

$\sqrt{n} \left( \tilde{\theta} - \theta \right) \xrightarrow{L} \mathcal{N} \left(0, \frac{1}{4 \left[f \left( \theta \right) \right]^2} \right)$

dónde $f$ es la distribución de tu muestra. El resultado no es tan universal como el CLT porque la distribución asintética todavía depende de la distribución subyacente de su muestra (a través del término $\left[f \left( \theta \right) \right]^2$ ) Sin embargo, puede hacer la simplificación drástica de que su muestra proviene de una distribución normal con media -y mediana- $\theta$ y varianza $\sigma^2$ . Evaluando $f$ en su punto de simetría entonces produce

{[f (θ)]}^{2} = \frac{1}{2 π σ^{2}}

$\left[f \left( \theta \right) \right]^2 = \frac{1}{2\pi \sigma^2}$

y entonces la variación asintótica se convierte

\frac{2 π}{4} σ^{2}

$\frac{2\pi}{4} \sigma^2$ .

Dividido por $N$ y sacar la raíz cuadrada de eso para llegar a su error estándar $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ .

— JohnK
fuente

ahora en Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/Median#Sampling_distribution

— Felipe G. Nievinski