Distribución de RV uniforme continua con límite superior siendo otro RV uniforme continuo

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Si $X \sim U(a, b)$ e $Y \sim U(a, X)$ , ¿puedo decir que $Y \sim U(a, b)?$

Estoy hablando de distribuciones uniformes continuas con límites $[a, b]$ . Se apreciará una prueba (o una prueba).

uniform distributions

— Blain Waan
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No lo es. En R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))muestra claramente que

Y

$Y$ ciertamente no está distribuido uniformemente. (Estoy publicando esto como un comentario ya que solicitó una prueba, que no debería ser difícil, pero para ser honesto, dado el histograma sesgado, no creo que sea necesaria una prueba ...)

— Stephan Kolassa

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a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

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Podemos derivar la distribución de analíticamente. Primero, observe que es que sigue la distribución uniforme, es decir $Y$ $Y|X$

F (y El | X) = U (una, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

y entonces

\begin{aligned} F (y) = \int_{- \infty}^{\infty} F (y El | X) F (X) re X & = \int_{y}^{si} \frac{1}{X - una} \frac{1}{si - una} re X \\ = \frac{1}{si - una} \int_{y}^{si} \frac{1}{X - una} re X \\ = \frac{1}{si - una} [Iniciar sesión (si - una) - Iniciar sesión (y - una)], una < y < si \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

que no es una distribución uniforme a causa de . Así es como se ve la densidad simulada para una distribución , superpuesta con lo que acabamos de calcular. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— JohnK
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Definitivamente no.

Por simplicidad, definamos . $a = 0, b = 1$

Entonces

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

Debido a la estricta desigualdad, no es posible que Unif (0,1). $Y \sim$

— Acantilado
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