¿Es la normalidad articular una condición necesaria para que la suma de variables aleatorias normales sea normal?

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En los comentarios que siguen a esta respuesta mía a una pregunta relacionada, ¿los usuarios ssdecontrol y Glen_b preguntaron si la normalidad conjunta de e es necesaria para afirmar la normalidad de la suma ? Que la normalidad articular sea suficiente es, por supuesto, bien conocida. Esta pregunta complementaria no se abordó allí, y quizás valga la pena considerarla por derecho propio. $X$ $Y$ $X+Y$

Como la normalidad articular implica normalidad marginal, pregunto

¿Existen variables aleatorias normales e modo que sea una variable aleatoria normal, pero e no son variables aleatorias normales en conjunto? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Si no se requiere que e tengan distribuciones normales, entonces es fácil encontrar tales variables aleatorias normales. Un ejemplo se puede encontrar en mi respuesta anterior (el enlace se proporciona arriba). Creo que la respuesta a la pregunta destacada anterior es Sí, y he publicado (lo que creo que es) un ejemplo como respuesta a esta pregunta. $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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2

¿Cómo quiere lidiar con las distribuciones degeneradas? Por ejemplo, si es una normal estándar e , entonces la distribución conjunta de e es una distribución normal degenerada y es una normal estándar.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers

@BrianBorchers

e

son variables aleatorias conjuntas normales a pesar de que la distribución es degenerada como usted dice. La definición estándar de normalidad articular es que

e

son conjuntamente normales si

es normal para todas las opciones de

. Aquí,

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ es un caso degenerado que, sin embargo, se llama una variable aleatoria normal como cortesía.

— Dilip Sarwate

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Deje que sea iid $U,V$ . $N(0,1)$

Ahora transforma siguiente manera: $(U,V) \to (X,Y)$

$U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ e . $Y = \min(U,V)$

Para los otros cuadrantes, gire este mapeo sobre el origen.

La distribución bivariada resultante se ve (vista desde arriba):

$\hspace{1.5 cm}$

- el púrpura representa regiones con probabilidad doble y las regiones blancas son las que no tienen probabilidad. Los círculos negros son contornos de densidad constante (en todas partes del círculo para , pero dentro de cada región coloreada para ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Por simetría, tanto como son normales (mirando hacia abajo una línea vertical o una línea horizontal hay un punto morado para cada blanco que podemos considerar como volteados sobre el eje que cruza la línea horizontal o vertical) $X$ $Y$
pero claramente no son bivariables normales, y $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ que es (equivalentemente, mire a lo largo de líneas de constantes y vea que tenemos una simetría similar a la que discutimos en 1., pero esta vez sobre Línea ) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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1

+1 y a aceptar; ¡Esta construcción es mucho mejor que la de mi propia respuesta!

— Dilip Sarwate

5

Considere las variables aleatorias conjuntas continuas con la función de densidad conjunta donde denota la función de densidad normal estándar. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Está claro que y son variables aleatorias dependientes . También es claro que son no de forma conjunta las variables aleatorias normales. Sin embargo, los tres pares son variables aleatorias independientes por pares : de hecho, variables aleatorias normales estándar independientes (y, por tanto, variables aleatorias normales por parejas). En resumen, son un ejemplo de variables aleatorias normales independientes por pares pero no independientes entre sí. Vea esta respuesta mía para más detalles. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Observe que la independencia por pares nos da que y son variables aleatorias normales de media cero con varianza . Ahora, definamos y tenga en cuenta que también es una variable aleatoria normal de media cero con varianza . Además, , por lo que e son variables aleatorias dependientes y correlacionadas. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ e son variables aleatorias normales (correlacionadas) que no son conjuntamente normales pero tienen la propiedad de que su suma es una variable aleatoria normal. $Y$ $X+Y$

Dicho de otra manera, la normalidad es un conjunto suficiente condición para afirmar la normalidad de una suma de variables aleatorias normales, pero es no es una condición necesaria.

Prueba de que e no son conjuntamente normales $X$ $Y$
Dado que la transformación es lineal, es fácil obtener . Por lo tanto, tenemos que Pero tiene la propiedad de que su valor no es cero solo cuando exactamente uno o sus tres argumentos son no negativos. Ahora suponga que . Entonces, tiene el valor para $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ y es

0

$0$ de otra manera. Entonces, para , Ahora, y así expandiendo y reorganizando los integrandos en , podemos escribir donde es un azar normal variable con media

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ y varianza

\frac{1}{3}

$\frac 13$ . Ambos términos dentro de los corchetes involucran el CDF normal estándar con argumentos que son (diferentes) funciones de e . Por lo tanto, no es una densidad normal bivariada, aunque e son variables aleatorias normales, y su suma es una variable aleatoria normal.

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Comentario: la normalidad conjunta de e suficiente para la normalidad de pero también implica mucho más: es normal para todas las opciones de . Aquí, necesitamos que sea normal para solo tres opciones de , a saber, donde las dos primeras imponen lo que a menudo se ignora condición (véase, por ejemplo, la respuesta de ) de que las densidades (marginales) de e deben ser densidades normales, y el tercero dice que la suma también debe tener una densidad normal. Por lo tanto, nosotros $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ puedetener variables aleatorias normales que no son conjuntamente normales pero cuya suma es normal porque no nos importa lo que suceda con otras opciones de . $(a,b)$

— Dilip Sarwate
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