¿Cómo se relacionan la función de error y la función de distribución normal estándar?

Si el PDF normal estándar es

F (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- X^{2} / / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

y el CDF es

F (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{X} {mi}^{- X^{2} / / 2} re X,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

¿Cómo se convierte esto en una función de error de ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
fuente

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Vi esto, pero comienza con ERF ya definido.

— TH4454

Bueno, hay una definición de erf y una definición de CDF normal. Las relaciones, derivables por algunos cálculos de rutina, se muestran sobre cómo convertir entre ellas y cómo convertir entre sus inversas.

— Mark L. Stone

Lo siento, no veo muchos de los detalles. Por ejemplo, el CDF es de -Inf a x. Entonces, ¿cómo va el ERF de 0 a x?

— TH4454

¿Conoces la técnica de cálculo de cambio de variable? Si no, aprende cómo hacerlo.

— Mark L. Stone

Debido a que esto ocurre a menudo en algunos sistemas (por ejemplo, Mathematica insiste en expresar el CDF normal en términos de ), es bueno tener un hilo como este que documente la relación. $\text{Erf}$

Por definición, la función de error es

Erf (X) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0 0}^{X} {mi}^{- t^{2}} re t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Escribiendo implica $t^2 = z^2/2$ (porqueno es negativo), de donde $t = z / \sqrt{2}$ $t$ . Los puntos finalesyconvierten eny $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ . Para convertir la integral resultante en algo que se parece a una función de distribución acumulativa (CDF), debe expresarse en términos de integrales que tienen límites inferiores de, por lo tanto: $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (X) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0 0}^{X \sqrt{2}} {mi}^{- z^{2} / / 2} re z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{X \sqrt{2}} {mi}^{- z^{2} / / 2} re z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0 0} {mi}^{- z^{2} / / 2} re z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Esas integrales en el tamaño de la mano derecha son valores del CDF de la distribución Normal estándar,

Φ (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{X} {mi}^{- z^{2} / / 2} re z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Específicamente,

Erf (X) = 2 (Φ (X \sqrt{2}) - Φ (0 0)) = 2 (Φ (X \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (X \sqrt{2}) - 1)

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Esto muestra cómo expresar la función de error en términos de CDF normal. La manipulación algebraica de eso da fácilmente el CDF normal en términos de la función de error:

Φ (X) = \frac{1 + Erf (X / / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Esta relación (para números reales, de todos modos) se exhibe en gráficos de las dos funciones. Los gráficos son curvas idénticas. Las coordenadas de la función de error a la izquierda se convierten en las coordenadas de a la derecha multiplicando las coordenadas por $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (X \sqrt{2}) = \frac{Erf (X) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

en el que la notación muestra explícitamente estas tres operaciones de multiplicación, suma y división.

— whuber
fuente

Φ (X, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{X - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$