Esta pregunta puede responderse como se indica solo asumiendo que las dos variables aleatorias y regidas por estas distribuciones son independientes. X 2X1X2 Esto hace su diferencia Normal con media y varianza . (La siguiente solución se puede generalizar fácilmente a cualquier distribución normal bivariada de .) Por lo tanto, la variable μ= μ 2 - μ 1 σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 ( X 1 , X 2 )X=X2−X1μ=μ2−μ1σ2=σ21+σ22(X1,X2)
Z=X−μσ=X2−X1−(μ2−μ1)σ21+σ22−−−−−−√
tiene una distribución Normal estándar (es decir, con media cero y varianza unitaria) y
X=σ(Z+μσ).
La expresion
|X2−X1|=|X|=X2−−−√=σ(Z+μσ)2−−−−−−−−√
exhibe la diferencia absoluta como una versión escalada de la raíz cuadrada de una distribución chi-cuadrado no central con un grado de libertad y parámetro de no centralidad . Una distribución de chi-cuadrado no central con estos parámetros tiene un elemento de probabilidadλ=(μ/σ)2
f(y)dy=y√2π−−√e12(−λ−y)cosh(λy−−√)dyy, y>0.
Escribir para establece una correspondencia uno a uno entre y su raíz cuadrada, lo que resulta en x > 0 yy=x2x>0y
f(y)dy=f(x2)d(x2)=x2−−√2π−−√e12(−λ−x2)cosh(λx2−−−√)dx2x2.
Simplificando esto y luego reescalando por da la densidad deseadaσ
f|X|(x)=1σ2π−−√cosh(xμσ2)exp(−x2+μ22σ2).
Este resultado está respaldado por simulaciones, como este histograma de 100,000 sorteos independientes de(llamado "x" en el código) con los parámetros . En él se traza el gráfico de , que coincide perfectamente con los valores del histograma.μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 f | X ||X|=|X2−X1|μ1=−1,μ2=5,σ1=4,σ2=1f|X|
El R
código para esta simulación sigue.
#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2))
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)
self-study
etiqueta. Aceptamos preguntas de tarea, pero las manejamos de manera un poco diferente aquí.