¿Los contornos

Supongo una configuración general de regresión, es decir, una función continua se elige de una familia { h θ } θ para ajustarse a los datos dados ( x i , y i ) ∈ X × R n , i = 1 , ... , k ( X puede ser cualquier espacio como el cubo [ 0 , 1 ] mo de hecho cualquier espacio topológico razonable) de acuerdo con algunos criterios naturales.$h_\theta:X\to \mathbb R^n$$\{h_\theta\}_\theta$$(x_i,y_i)\in X\times \mathbb R^n, i=1,\ldots, k$$X$$[0,1]^m$

¿Existen aplicaciones de regresión en las que uno esté interesado en un contorno de h para algún punto y ∈ R n - por ejemplo, el conjunto cero h - 1 ( 0 ) ?$h^{-1}(y)$$h$$y\in \mathbb R^n$$h^{-1}(0)$

La explicación de mi interés es la siguiente: Dado que en muchas situaciones existe incertidumbre en cuanto a los eruditos (imprecisión o falta de los datos), uno podría querer analizar el conjunto cero h - 1 ( 0 ) "robusta". Es decir, estudie las características del conjunto cero que son comunes a todas las "perturbaciones" de h . Recientemente se ha desarrollado una muy buena comprensión en un entorno muy general donde las perturbaciones f pueden ser mapas continuos arbitrarios cercanos a h en la norma ℓ ∞ . O, esencialmente equivalente, f es arbitraria continua de tal manera que por cada x $h_\theta$$h^{-1}(0)$$h$$f$$h$$\ell_\infty$$f$ tenemos | f ( x ) - h ( x ) | ≤ c ( x ) donde c : X → R da algún valor de confianza en cada x .$x\in X$$|f(x)-h(x)|\le c(x)$$c:X\to\mathbb R$$x$

Nuestra principal motivación para desarrollar la teoría y los algoritmos ha sido la matemática emocionante detrás (esencialmente todos los problemas / preguntas se reducen a la teoría de la homotopía). Sin embargo, en la etapa actual, para un mayor desarrollo e implementación de los algoritmos, debemos elegir configuraciones y objetivos más específicos.

Los economistas están frecuentemente interesados ​​en esto. A menudo estimamos las funciones de utilidad de los consumidores , donde el dominio describe la cantidad de cada bien que consume un consumidor y el rango es cuán "feliz" es el paquete de consumo que lo hace. Llamamos a los conjuntos de niveles de funciones de utilidad "curvas de indiferencia". A menudo estimamos las funciones de costo de las empresas c : R n × R k → R , donde las dos partes del dominio son cantidades de cada producto que produce la empresa y los precios de cada insumo que la empresa utiliza en la producción. Los conjuntos de niveles de c se denominan curvas de iso-costo.$u: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$$c: \mathbb R^n \times \mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$$c$

Más comúnmente, las propiedades de los conjuntos de niveles que nos interesan son las pendientes de los límites. La pendiente de una curva de indiferencia le indica a qué velocidad los consumidores intercambian diferentes bienes: "¿Cuántos albaricoques estaría dispuesto a renunciar por una manzana más?" La pendiente de una curva de iso-costo le dice (dependiendo de qué parte del dominio), cuán sustituibles en producción son las diferentes salidas (al mismo costo, si produjo 10 cuchillas de afeitar menos, entonces cuántos pines más podría hacer) , o cuán sustituibles son las diferentes entradas.

Los economistas están completamente obsesionados con las razones de los primeros derivados parciales porque estamos obsesionados con las compensaciones. Estos, supongo, pueden considerarse (¿siempre?) Como pendientes de límites de conjuntos de niveles.

Otra aplicación es el cálculo de equilibrios económicos. El ejemplo más simple es el sistema de oferta y demanda. La curva de oferta representa cuánto están dispuestos a suministrar los productores a cada precio: . La curva de demanda representa cuánto están dispuestos a exigir los consumidores a cada precio: q = d ( p ) . Tome un precio arbitrario, p , y defina el exceso de demanda como e ( p ) = d ( p ) - s ( p ) . Los precios de equilibrio son e $q=s(p)$$q=d(p)$$p$$e(p)=d(p)-s(p)$--- es decir, estos son los precios a los que los mercados despejan. qyppueden ser vectores, ydysson normalmente no lineales.$e^{-1}(0)$$q$$p$$d$$s$

Lo que describo en el párrafo anterior (demanda y oferta) es solo un ejemplo. La configuración general es extremadamente común. En Game Theory, tal vez estamos interesados ​​en calcular los Equilibrios de Nash de un juego. Para hacer esto, usted define, para el jugador , una función (la mejor función de respuesta) que ofrece su mejor estrategia como el rango y qué estrategias están jugando todos los demás jugadores como dominio: s i = b r ( s - i ) . Apile todo esto en una función de mejor respuesta vectorial: s = B R ( s ) . Si $i$$s_i=br(s^{-i})$$s=BR(s)$$s$puede representarse como números reales, luego puede definir una función que dé la distancia desde el equilibrio: . Entonces d - 1 ( 0 ) es el conjunto de equilibrios del juego.$d(s)=BR(s)-s$$d^{-1}(0)$

Si los economistas generalmente estiman estas relaciones con la regresión depende de cuán amplia sea su definición de regresión. Comúnmente, usamos regresión de variables instrumentales. Además, en el caso de las funciones de utilidad, la utilidad no se observa, por lo que tenemos varios métodos de variables latentes para estimarlos.