Coeficiente de correlación para una distribución uniforme en una elipse

Actualmente estoy leyendo un artículo que afirma que el coeficiente de correlación para una distribución uniforme en el interior de una elipse

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} constant & if (x, y) inside the ellipse \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

es dado por

ρ = \sqrt{1 - {(\frac{h}{H})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

dónde $h$ y $H$ son las alturas verticales en el centro y en los extremos, respectivamente.

El autor no revela cómo llega a eso y, en cambio, solo dice que necesitamos cambiar escalas, rotar, traducir y, por supuesto, integrar. Me gustaría mucho volver sobre sus pasos, pero estoy un poco perdido con todo eso. Por lo tanto, agradecería algunos consejos.

Gracias de antemano.

Ah y para el registro

Châtillon, Guy. "El globo rige para una estimación aproximada del coeficiente de correlación". El estadístico estadounidense 38.1 (1984): 58-60

Es muy divertido

— JohnK
fuente

¿Podrías escribir una expresión para la elipse? La "altura en el extremo" no tiene sentido para una elipse estándar:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ya que tiene altura

0

$0$ en los extremos De hecho, si

(X, Y)

$(X,Y)$ se distribuye uniformemente en el interior de la elipse estándar, luego

ρ = 0

$\rho = 0$ .

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Sí, probé el caso estándar y calculé

ρ = 0

$\rho = 0$ No hay problemas allí. Sin embargo, ¿qué pasa con los otros casos, donde necesita escalar, rotar, etc.?

— JohnK

Toda la operación parece fundamentalmente equivocada. La parte de "escalas de cambio" destruye la uniformidad. Se logra una distribución verdaderamente uniforme ya sea como la distribución limitante dentro de amortiguadores estrechos (euclidianos) de la curva o es uniforme por la longitud del arco. En cualquier caso, la constante de normalización es una función elíptica completa y posiblemente no se simplificará a la expresión dada aquí. No estoy seguro de que

h

$h$ y

H

$H$ media, pero, como ejemplo, el coeficiente de correlación para una elipse con un eje mayor dos veces el eje menor, inclinado en un ángulo de

π / 6

$\pi/6$ , estarán

0.78004

$0.78004$ .

— whuber

@whuber He incluido una figura del documento que explica qué

h

$h$ y

H

$H$ de pie, espero que esto lo aclare.

— JohnK

Si desea una respuesta completa, completa, la encontrará en mi publicación en stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Después de todo, cuando la elipse es un círculo, el uniforme es (obviamente) circularmente simétrico, por lo que casi todo en esa respuesta se aplica directamente. En particular, al ver la elipse no como una rotación de una elipse horizontal, sino como una transformación sesgada, la fórmula para

ρ

$\rho$ se vuelve obvio, porque

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$ (utilizando la notación en la sección "Cómo crear elipses").

— whuber

Dejar $(X,Y)$ estar distribuido uniformemente en el interior de la elipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ dónde

a

$a$ y

b

$b$ son los semiejes de la elipse. Entonces,

X

$X$ y

Y

$Y$ tener densidades marginales

\begin{aligned} f_{X} (x) & = \frac{2}{π a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} 1_{- a, a} (x), \\ f_{X} (x) & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - y^{2}} 1_{- b, b} (y), \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$ y es fácil ver que

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$ . También,

\begin{aligned} σ_{X}^{2} = E [X^{2}] & = \frac{2}{π a^{2}} \int_{a}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \times a^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ (3 / 2) Γ (3 / 2)}{Γ (3)} \\ = \frac{a^{2}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$ y de manera similar

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$ . Finalmente,

X

$X$ y

Y

$Y$ son variables aleatorias no correlacionadas .

Dejar

\begin{aligned} U & = X \cos θ - Y \sin θ \\ V & = X \sin θ + Y \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$ que es una transformación de rotación aplicada a

(X, Y)

$(X,Y)$ . Entonces,

(U, V)

$(U,V)$ están distribuidos uniformemente en el interior de una elipse cuyos ejes no coinciden con el

u

$u$ y

v

$v$ hachas. Pero, es fácil verificar que

U

$U$ y

V

$V$ son variables aleatorias de media cero y que sus variaciones son

\begin{aligned} σ_{U}^{2} & = \frac{{una}^{2} \cos^{2} θ + {si}^{2} {pecado}^{2} θ}{4 4} \\ σ_{V}^{2} & = \frac{{una}^{2} {pecado}^{2} θ + {si}^{2} \cos^{2} θ}{4 4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$ Además,

cov (U, V) = (σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) pecado θ \cos θ = \frac{{una}^{2} - {si}^{2}}{8} pecado 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$ de donde podemos obtener el valor de

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$ .

Ahora, la elipse en cuyo interior $(U,V)$ se distribuye uniformemente tiene ecuación

\frac{(tu \cos θ + v pecado θ)^{2}}{{una}^{2}} + \frac{(- tu pecado θ + v \cos θ)^{2}}{{si}^{2}} = 1,

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$ es decir,

(\frac{\cos^{2} θ}{{una}^{2}} + \frac{{pecado}^{2} θ}{{si}^{2}}) {tu}^{2} + (\frac{{pecado}^{2} θ}{{una}^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{{si}^{2}}) v^{2} + ((\frac{1}{{una}^{2}} - \frac{1}{{si}^{2}}) pecado 2 θ) tu v = 1,

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$ que también se puede expresar como

\begin{matrix} (1) & σ_{V}^{2} \cdot {tu}^{2} + σ_{U}^{2} \cdot v^{2} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot tu v = \frac{{una}^{2} {si}^{2}}{4 4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$ Ajuste

u = 0

$u = 0$ en

(1)

$(1)$ da

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$ . while implicit differentiation of

(1)

$(1)$ with respect to

u

$u$ gives

σ_{V}^{2} \cdot 2 u + σ_{U}^{2} \cdot 2 v \frac{d v}{d u} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot (v + u \frac{d v}{d u}) = 0,

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$ that is, the tangent to the ellipse

(1)

$(1)$ is horizontal at the two points

(u, v)

$(u,v)$ en la elipse para la cual

ρ_{U, V} σ_{U} \cdot v = σ_{v} \cdot tu .

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$ El valor de

H

$H$ puede deducirse de esto, y (en el improbable caso de que no haya cometido errores al hacer los cálculos anteriores) conducirá al resultado deseado.

— Dilip Sarwate
fuente

Esa es una matriz de rotación ortogonal adecuada, gracias.

— JohnK