¿Cuál es el significado de super script 2 subíndice 2 dentro del contexto de las normas?

Soy nuevo en optimización. Sigo viendo ecuaciones que tienen un superíndice 2 y un subíndice 2 en el lado derecho de una norma. Por ejemplo, aquí está la ecuación de mínimos cuadrados

min $||Ax-b||^2_2$

Creo que entiendo el superíndice 2: significa cuadrar el valor de la norma. Pero, ¿cuál es el subíndice 2? ¿Cómo debo leer estas ecuaciones?

regression optimization notation

— bernie2436
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es el

-norma de

. Digamos que

-dimensional, entonces

| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$

ℓ_{p}

$\ell_p$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

d

$d$

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$

— Sobi

Se utilizan barras verticales simples para el valor absoluto (magnitud):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi - Restablece a Monica

¡Gracias! ... pero ¿para qué sirve el superíndice 2? ... la subscripción es para la norma pth ... ¿para qué sirve el superíndice?

— mathopt

@ user1467929: Cuadratura - si es algo más, seguramente habrían dicho.

— Scortchi - Restablece a Monica

Respuestas:

Tienes razón sobre el superíndice. El subíndice especifica la -norm. $||.||_p$ $p$

Por lo tanto:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
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ah Y hay convenciones para los significados de los subíndices que veo. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Así como 1 = norma de taxis, 2 = norma Euclides etc

— bernie2436

@ bernie2436: Estos son casos especiales de la definición general dada en la respuesta anterior (excepto tal vez la sup-norma con

)

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

es la norma euclidiana del vector ; es la norma euclidiana al cuadrado de . Tenga en cuenta que, como la norma euclidiana es probablemente la norma más utilizada, las personas abreviadas habitualmente por . Por definición al asumir un espacio vectorial euclidiano: $\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ . $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Como se menciona en los comentarios, el subíndice refiere al grado de la norma. Otras normas de uso común son para , y . Para se obtiene el número de elementos distintos de cero en , para (es decir, ) se obtiene la norma de Manhattan y para se obtiene el valor absoluto máximo de los elementos en . Tanto como $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ son populares en configuraciones de aplicaciones dispersas / comprimidas donde uno quiere "instar" a que algunos coeficientes sean cero. $p = 1$

— usεr11852 dice Reinstate Monic
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