¿Cuál es la autocorrelación para una caminata aleatoria?

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Parece que es realmente alto, pero esto es contradictorio para mí. ¿Alguien puede explicar? Estoy muy confundido con este problema y agradecería una explicación detallada y perspicaz. ¡Muchas gracias por adelantado!

autocorrelation random-walk

— El baron
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(Escribí esto como respuesta a otra publicación, que se marcó como un duplicado de esta mientras estaba componiendo; pensé que lo publicaría aquí en lugar de tirarlo. Parece que dice cosas bastante similares a las de Whuber respuesta, pero es lo suficientemente diferente como para que alguien pueda obtener algo de esta).

Una caminata aleatoria tiene la forma $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Tenga en cuenta que $y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Por lo tanto, . $\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

También tenga en cuenta que $\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

En consecuencia, . $\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Es decir, debería ver una correlación de casi 1 porque tan pronto como comienza a , e son casi exactamente lo mismo: la diferencia relativa entre ellos tiende a ser bastante pequeña. $t$ $y_t$ $y_{t-1}$

Puede ver esto más fácilmente al trazar vs . $y_t$ $y_{t-1}$

Ahora podemos verlo de forma algo intuitiva: imagine que ha reducido a (como vemos en mi simulación de una caminata aleatoria con término de ruido normal estándar). Entonces estará bastante cerca de ; podría ser o podría ser pero es casi seguro que esté dentro de unas pocas unidades de . Entonces, a medida que la serie se mueve hacia arriba y hacia abajo, la gráfica de vs casi siempre se mantendrá dentro de un rango bastante estrecho de la línea ... pero a medida que crezca, los puntos cubrirán más y tramos mayores a lo largo de que $y_{t-1}$ $-20$ $y_t$ $-20$ $-22$ $-18.5$ $-20$ $y_t$ $y_{t-1}$ $y=x$ $t$ $y=x$ línea (la extensión a lo largo de la línea crece con , pero la extensión vertical permanece más o menos constante); la correlación debe acercarse a 1. $\sqrt{t}$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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En el contexto de su pregunta anterior , una "caminata aleatoria" es una realización de una caminata aleatoria binomial. La autocorrelación es la correlación entre el vector y el vector de los siguientes elementos . $(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

La construcción misma de una caminata aleatoria binomial hace que cada difiera de cada en una constante. $x_{i+1}$ $x_i$ Después de correr la caminata por un tiempo, los valores de se habrán alejado del valor inicial y, por lo tanto, generalmente cubrirán un buen rango, generalmente proporcional a de longitud. Por lo tanto, el diagrama de dispersión lag-1 de los pares consistirá en puntos que se encuentran solo en las líneas , estando en promedio cerca de la línea . Los residuos estarán cerca de $x_i$ $x_0$ $\sqrt{n}$ $(x_i, x_{i+1})$ $y=x\pm 1$ $y=x$ $\pm 1$ . Por lo tanto, en la gran mayoría de las realizaciones, la varianza de los residuos (aproximadamente ) en comparación con la varianza de los valores (aproximadamente en el orden de ) será pequeña . Esperaríamos que sea aproximadamente $1$ $(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$ $R^2$

R^{2} \approx 1 - \frac{1}{norte / / 4 4} = 1 - \frac{4 4}{norte} .

$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$

Aquí hay una imagen de pasos en una caminata aleatoria (a la izquierda) y su diagrama de dispersión lag-1 (a la derecha). La codificación de colores se utiliza para ayudarlo a encontrar los puntos correspondientes en las dos parcelas. Observe que está muy cerca de en este caso. $n=1000$ $R^2$ $1 - 4/n$

Aquí está el Rcódigo que produjo las imágenes.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))

— whuber
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