Interpretación de la Ley Total de Covarianza


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que sean variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad y que la covarianza de e sea ​​finita, entonces la ley de la fórmula de covarianza / descomposición de covarianza total establece: ¿Cuál es la interpretación de y \ text {(ii)} ?X,Y,ZXY

Cov(X,Y)=E[Cov(X,Y|Z)](i)+Cov[E(X|Z),E(Y|Z)](ii)
(i)(ii)

Mis pensamientos: en (ii) las dos expectativas condicionales pueden verse como variables aleatorias en sí mismas, también sé que esta es una generalización de la ley de la fórmula de varianza total / descomposición de la varianza que se puede mostrar estableciendo X=Y , donde la interpretación es entonces la de una variación en Y explica por Z y no explicada por Z . Pero, ¿cuál es la interpretación correcta en la fórmula de covarianza anterior para (i) y (ii)? Wikipedia ofrece una breve descripción que no es muy satisfactoria.

Respuestas:


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El primer término (i): E[cov(X,Y|Z)]

Piense cov(X,Y) como una función de Z . Al examinar diferentes valores de Z , obtendrá un valor correspondiente para cov(X,Y) . La expectativa simplemente promedios estos diferentes covarianzas con respecto a Z .

El segundo término (ii): cov([mi[XEl |Z],mi[YEl |Z])

Piense en y en función de . Al examinar diferentes valores de , obtendrás un valor de y un valor de simultáneamente. Por lo tanto, para cada valor de , obtendrá una coordenada . Este término es simplemente la covarianza de todos estos puntos de coordenadas.mi[XEl |Z]mi[YEl |Z]ZZmi[XEl |Z]mi[YEl |Z]Z(X,Y)


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Otra posible interpretación en un marco jerárquico es una simple descomposición de la covarianza total en dos términos:cov(X,Y)

  1. el grupo interno ( ) yE[cov(X,Y|Z)]
  2. entre groupcov([E[X|Z],E[Y|Z])

covarianzas El primer término representa en este ejemplo el promedio de las covarianzas de y evaluados para cada grupo, mientras que el segundo término es la covarianza del Grupo de promedios para y .XYXY

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