invariancia de correlación a transformación lineal:

Este es realmente uno de los problemas en la 4a edición de Econometría Básica de Gujarati (Q3.11) y dice que el coeficiente de correlación es invariante con respecto al cambio de origen y escala, es decir, donde , , , son constantes arbitrarias.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Pero mi pregunta principal es la siguiente: deje que e sean observaciones emparejadas y suponga que e están positivamente correlacionadas, es decir, . Sé que sería negativo según la intuición. Sin embargo, si tomamos , se deduce que $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$ que no tiene sentido.

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Agradecería si alguien puede señalar la brecha. Gracias.

— Daniel
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a c > 0

$ac>0$

@Glen_b Sí, creo que el libro lo dice mal, a menos que sea ciego, ya que realmente no veo ninguna condición impuesta a las constantes.

— Daniel

Puede ser que la escala se entienda como una cantidad positiva.

— Xi'an

@ Xi'an Podría ser, pero no creo que se indique en el libro. Pero muchas gracias por la edición y la respuesta por cierto :)

— Daniel

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Xi'an
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