Método del segundo momento, ¿movimiento browniano?

Deje que sea un movimiento browniano estándar. Deje que denote el evento y deje que donde denota la función del indicador. ¿Existe tal que para para todos los ? Sospecho que la respuesta es sí; He intentado perder el tiempo con el método del segundo momento, pero no sirvió de mucho. ¿Se puede mostrar esto con el método del segundo momento? ¿O debería estar intentando algo más? $B_t$ $E_{j, n}$

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$

1

$1$

ρ > 0

$\rho > 0$

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$

n

$n$

— Estudiante
fuente

Primero, si su suma no es: ya que su evento sugiere que la tasa de crecimiento de es entonces uno esperaría su suma para tener términos, ¿no?

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— Grant Izmirlian

No es la respuesta, pero posiblemente una reformulación útil

Supongo que el comentario hecho anteriormente es correcto (es decir, la suma tiene $2^{n+1}$ términos).

Denote

p_{n} (ρ) = P (K_{n} > ρ 2^{n}) = P (K_{n} / 2^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$ Observe que

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$ if

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

Primer punto: si pregunta si existe tal $\rho$ para todos n, debe mostrar que para algunos $\delta$ el límite es positivo

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$ entonces, si

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$ tiene un límite positivo y todos los valores son positivos, debe separarse de cero, digamos

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$ . Entonces

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$ por lo que ha deseado la propiedad para

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$ .

Entonces solo necesita mostrar el límite de $p_n$ para que sea positivo.

Luego investigaría la variable $K_n/2^n$ y su valor esperado

— krzmip
fuente