Dados n r.v de distribución uniforme, ¿cuál es el PDF para un rv dividido por la suma de todos los n r.v's?

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Estoy interesado en el siguiente tipo de caso: hay 'n' variables aleatorias continuas que deben sumar 1. ¿Cuál sería, entonces, el PDF para cualquier variable individual? Entonces, si $n=3$ , entonces estoy interesado en la distribución para $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ , donde $X_1, X_2$ y $X_3$ están todos distribuidos uniformemente. La media, por supuesto, en este ejemplo, es $1/3$ , como la media es sólo $1/n$ , y aunque es fácil de simular la distribución en R, no sé lo que la ecuación real para el PDF o CDF es.

Esta situación está relacionada con la distribución de Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Solo Irwin-Hall es la distribución de la suma de n variables aleatorias uniformes, mientras que me gustaría que la distribución de una de n rv uniformes dividida por la suma de todas las n variables. Gracias.

uniform

— usuario3593717
fuente

1

Si las

variables aleatorias uniformes continuas suman

, entonces con

,

y así la distribución de

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

es lo mismo que la distribución de

, ¿verdad?

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate

1

Debería corregirme: las distribuciones uniformes de N no suman 1. Supongo que cada una es uniforme entre 0 y 1, por lo que su suma puede ser de 0 a N. Estoy pensando en tomar cada variable uniforme y dividirla. mediante la suma de todas las N variables uniformes para obtener un conjunto de N variables aleatorias que suman 1 y tienen el valor esperado 1 / N. Nota: eliminé la palabra 'uniforme' de mi primera oración. La distribución que estoy buscando no es uniforme, sino que se deriva de dividir una de las N variables uniformes por la suma de todas las N variables uniformes, de alguna manera. Simplemente no estoy seguro de cómo.

— user3593717

Donde

se distribuye exponencialmente, el vector de variables normalizadas tiene una distribución de Dirichlet. Esto puede ser de interés en sí mismo, pero estudiado también podría proporcionar tácticas para este tipo de situación.

X_{i}

$X_i$

— conjeturas

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Los puntos de interrupción en el dominio lo hacen algo desordenado. Un enfoque simple pero tedioso es construir hasta el resultado final. Para sea $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ yEntonces $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Los puntos de corte están en 1 para 1 y 2 para 2 y 3 para y y para Encontré el pdf completo para ser $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

El cdf se puede encontrar como

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— Soakley
fuente

+1 Niza. Además, su densidad concuerda maravillosamente con la simulación.

— Glen_b -Reinstate Monica

2

Sea . Podemos encontrar el cdf de calculando $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ Luego diferenciamos y sustituimos el pdf de Irwin-Hall para obtener el pdf deseado:

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

Desde aquí se pone un poco desordenado, pero debería poder intercambiar la integral y la sumatoria y luego realizar una sustitución (por ejemplo,

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$

) para evaluar la integral y, por lo tanto, obtener una fórmula explícita para el pdf.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Brent Kerby
fuente

1

Asumiendo

"las distribuciones uniformes de N no suman 1."

Así es como empecé (está incompleto):

Considere y deje que por un ligero abuso de notación. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Considere, y: $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Luego de la siguiente transformación de variables :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

La función de probabilidad conjunta de viene dada por: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Donde e $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

Y,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Por lo tanto,

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

y $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— derechos
fuente

0

Supongamos que ya sabemos que la suma de tiene una distribución de Irwin-Hall. Ahora su pregunta cambia para encontrar el pdf (o CDF) de $U(0,1)$ cuando X tenía unadistribuciónetiene una distribución Irwin-Hall. $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

En primer lugar tenemos que encontrar él pdf conjunta de e . $X$ $Y$

Deje $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Entonces

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Ya que son iid con por lo tanto, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

La distribución conjunta con es $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

A continuación, el y podemos obtener la distribución conjunta de e es decir, la distribución conjunta de y $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Como sugirió whuber ahora cambié los límites

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Ahora, sabemos que el pdf conjunto de es decir, el pdf conjunto y es . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

A continuación, busque el pdf de $\frac{X}{Y}$

Necesitamos otra transformación:

Deje $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Entonces $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Entonces

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

Ya tenemos la distribución conjunta de de los pasos anteriores ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Luego, integramos el , obtenemos el pdf de luego obtenemos el pdf de $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

Este es el pdf de es decir, $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

Todavía no hemos terminado, ¿qué es en (2) entonces? $y_3$

Sabemos que desde la primera transformación. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

Entonces, al menos sabemos que tiene una distribución Irwin-Hall . $Y_3$

Me pregunto ¿podemos conectar el Irwin-Hall para pdf a (2) para obtener una fórmula explícita? o podemos hacer algunas simulaciones desde aquí como Glen sugirió? $n=3$

— Norte profundo
fuente

2

La simulación no parece estar de acuerdo con ese pdf.

— Glen_b -Reinstate Monica

La lógica y los pasos parecen correctos, pero me siento incómodo con esta solución.

— Deep North

2

Cuando integró , necesitaba tener en cuenta las condiciones y .

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber