Paseo aleatorio con impulso

Considere una caminata aleatoria entera que comienza en 0 con las siguientes condiciones:

El primer paso es más o menos 1, con igual probabilidad.
Cada paso futuro es: 60% de probabilidades de estar en la misma dirección que el paso anterior, 40% de probabilidades de estar en la dirección opuesta

¿Qué tipo de distribución produce esto?

Sé que una caminata aleatoria sin impulso produce una distribución normal. ¿El impulso solo cambia la varianza, o cambia la naturaleza de la distribución por completo?

Estoy buscando una respuesta genérica, por lo que en un 60% y 40% arriba, realmente me refiero a p y 1-p

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
fuente

En realidad, @Dilip, necesita una cadena de Markov con estados indexados por pares ordenados

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ y

(i, i - 1)

$(i,i-1)$ ,

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$ . Las transiciones son

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$ y

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$ con probabilidad

p

$p$ y

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$ y

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$ con probabilidad

1 - p

$1-p$ .

— whuber

Tenga en cuenta que los tamaños de los pasos forman una cadena de Markov en

y resulta que (?!) lo ha comenzado en una distribución estacionaria.

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— cardenal

¿Desea una distribución limitante (marginal) para

donde

son los pasos de la caminata?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— cardenal

Otro enfoque podría ser mirar sumas alternas de variables aleatorias geométricas, luego aplicar alguna teoría de martingala. El problema es que tendrías que definir algún tipo de tiempo de detención, lo que podría ser complicado.

— shabbychef

Respuestas:

Para llegar inmediatamente a la conclusión, el "impulso" no cambia el hecho de que la distribución normal es una aproximación asintótica de la distribución de la caminata aleatoria, pero la varianza cambia de a . Esto puede derivarse de consideraciones relativamente elementales en este caso especial. No es muy difícil generalizar los argumentos a continuación a un CLT para cadenas de Markov de espacio de estado finito, por ejemplo, pero el mayor problema es en realidad el cálculo de la varianza. Para el problema particular puede $4np(1-p)$ $np/(1-p)$ se calcula y, con suerte, los argumentos a continuación pueden convencer al lector de que es la variación correcta.

Utilizando la información que Cardinal proporciona en un comentario, la caminata aleatoria se da como donde y las forman una cadena de Markov con matriz de probabilidad de transición Para consideraciones asintóticas cuando la distribución inicial de no juega ningún papel, entonces arreglemos

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

en aras del siguiente argumento, y supongamos también que

. Una técnica ingeniosa es descomponer la cadena de Markov en ciclos independientes. Supongamos que

denota la primera vez, después del tiempo 1, que la cadena de Markov vuelve a 1. Es decir, si

entonces

, y si

entonces

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ . En general, supongamos que

denota el

-ésimo tiempo de retorno a 1 y que

denota los tiempos de retorno (con

). Con estas definiciones, tenemos

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

Con entonces $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Dado que toma el valor para y mantiene que $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Los tiempos entre retornos, , para una cadena de Markov son iid (formalmente debido a la fuerte propiedad de Markov) y en este caso con la media y la varianza $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ . A continuación se indica cómo calcular la media y la varianza. $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
El CLT ordinario para las variables iid produce que $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
La última cosa a tener en cuenta, que requiere un pequeño salto de fe, porque omito los detalles, es que , lo que produce que $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

$\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
fuente

+1 bien. Solo habría escrito distribución asintótica para

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$ , para mostrar claramente que CLT se aplica de la manera habitual. Pero eso es solo cuestión de gustos.

— mpiktas

Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelation $\rho$ . Translating this using $\rho = 2p - 1$ da

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$ where

n \bar{x}

$n \bar{x}$ is the position of the random walk after

n

$n$ steps, and

s

$s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in

n

$n$ ,

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$ . The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of

n \bar{x}

$n \bar{x}$ should be around

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)

— shabbychef
fuente

Interesting. I'm not sure that yields anything very sensible for the

p = 0

$p=0$ subcase; though, that could be due to pathologies associated with that case.

— cardinal

@cardinal good catch, the autocorrelation should be

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$ not

1 - 2 p

$1 - 2p$ . correcting it...

— shabbychef