¿Cuál es este compromiso de varianza sesgo para los coeficientes de regresión y cómo derivarlo?

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En este artículo , ( Inferencia bayesiana para componentes de varianza usando solo contrastes de error , Harville, 1974), el autor afirma es un "bien conocido relación ", para una regresión lineal donde

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = (y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)=(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

y = X β + ϵ,

$y=X\beta+\epsilon,$

ϵ \sim N (0, H) .

$\epsilon\sim\mathcal{N}(0, H).$

¿Cómo se sabe esto? ¿Cuál es la forma más simple de probar esto?

— Sibbs Gambling
fuente

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Está en Wikipedia , ver 'derivación' allí.

— user603

@ user603 ¿Le importaría aclarar el enlace? ¡Gracias!

— Sibbs Gambling

@ user603 Lo siento, no puedo ver realmente cómo el enlace resuelve el problema. Para mí, en mi caso, la ecuación es Var (y) = sesgo + ... ¿Puedes explicarlo?

— Sibbs Gambling

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@SibbsGambling Tenga en cuenta que su ecuación tiene dos términos relacionados con la varianza en esta formulación de una regresión lineal ponderada . El término a la izquierda está relacionado con la varianza alrededor del modelo verdadero (ponderado por la matriz de precisión ). El primer término a la derecha está relacionado con la variación alrededor de los modelos ajustados. El segundo término a la derecha está relacionado con el cuadrado del sesgo. Esa es la compensación de sesgo de varianza.

H^{- 1}

$H^{-1}$

— EdM

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El último término en la ecuación se puede escribir como

(X β - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (X β - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta})'H^{-1}(X\beta - X\hat{\beta}).$

De esta forma, la ecuación dice algo interesante. Suponiendo que es positivo definido y simétrico, también lo es su inverso. Por lo tanto, podemos definir un producto interno , dándonos geometría. Entonces, la igualdad anterior esencialmente dice eso, $H$ $<x, y>_{H^{-1}} = x'H^{-1}y$

(X β - X \hat{β}) ⊥ (y - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta}) \perp (y - X\hat{\beta}).$

Quería darte un poco de intuición ya que un comentarista ya ha dejado un enlace a la derivación.

Editar: para la posteridad

LHS:

\begin{array}{rcl} (y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) & = & y^{'} H^{- 1} y & - & 2 y^{'} H^{- 1} X β & + & β^{'} X^{'} H^{- 1} X β \\ = & (A) & - & (B) & + & (C) \end{array}

$\begin{eqnarray} (y-X \beta)'H^{-1}(y-X \beta) &=& y'H^{-1}y &-& 2y'H^{-1}X \beta &+& \beta'X'H^{-1}X\beta \\ &=& (A) &-& (B) &+& (C) \end{eqnarray}$

RHS:

(y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

\begin{array}{rcl} = & y^{'} H^{- 1} y & - 2 y^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + β X^{'} H^{- 1} X β & - 2 \hat{β} X^{'} H^{- 1} X β & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} \\ = & (A) & - (D) & + (E) & + (C) & - (F) & + (E) \end{array}

$\begin{eqnarray} &=& y'H^{-1}y &- 2y'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \beta X'H^{-1}X\beta &- 2\hat{\beta}X'H^{-1}X\beta &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} \\ &=& (A) &- (D) &+ (E) &+ (C) &- (F) &+ (E) \end{eqnarray}$

Relación:

\hat{β} = (X^{'} H^{- 1} X)^{- 1} X^{'} H^{- 1} y

$\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

Al conectar la relación, puede mostrar que (B) = (F) y que 2 (E) = (D). Todo listo.

— jlimahaverford
fuente

Lo siento, realmente no puedo ver cómo el enlace resuelve el problema. Para mí, en mi caso, la ecuación es Var (y) = sesgo + ... ¿Puedes explicarlo?

— Sibbs Gambling

@SibbsGambling editó mi respuesta, incluida la derivación.

— jlimahaverford

@jlimahaverford ¿no estás olvidando la al final de la fórmula para ?

y

$y$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— Gumeo

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Llegan a esta identidad mediante una técnica llamada completar el cuadrado. El lado izquierdo está en forma cuadrática, así que comienza multiplicándolo

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = y^{'} H^{- 1} y - 2 y^{'} H^{- 1} X β + β^{'} X^{'} H^{- 1} X β

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)= y'H^{-1}y - 2y'H^{-1}X\beta + \beta'X'H^{-1} X\beta$

continúe y luego vuelva a escribir en términos de . El álgebra es algo largo, pero busca en Google completando el cuadrado en la regresión bayesiana y puedes encontrar muchas pistas. Por ejemplo, vea la wikipedia sobre regresión lineal bayesiana y otras respuestas CrossValided sobre cómo completar el cuadrado, como aquí . $\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

— bill_e
fuente

2

Si conoces tu álgebra matricial, entonces esto debería ser posible multiplicando todo y verificando que realmente tienes lo mismo en ambos lados. Esto es lo que jlimahaverford ha demostrado.

Para poder hacer esto, necesita la fórmula para la estimación de . Podemos derivar la fórmula de manera similar a la regresión lineal cuando tenemos términos de error no correlacionados. El truco es estandarizar. $\hat{\beta}$

Aquí hay información sobre cómo estandarizar un RV que proviene de una distribución normal multivariante. Supongamos que tiene es definida positiva, por lo que puede factorizar como . Ahora la variable aleatoria proviene de la distribución . Ahora podemos usar este truco para nuestro problema para encontrar . Vamos factorize . Tenemos Now ha sido estandarizado, de modo que

X \sim N (μ, Σ) .

$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma).$

Σ

$\Sigma$

Σ = P P^{T}

$\Sigma = PP^T$

Y = P^{- 1} (X - μ)

$\mathbf{Y}=P^{-1}(\mathbf{X}-\mu)$

N (0, I)

$\mathcal{N}(0,I)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

H = P P^{T}

$H=PP^T$

\begin{aligned} y & = X β + ϵ \\ P^{- 1} y & = P^{- 1} X β + P^{- 1} ϵ \end{aligned}

$\begin{align} y&=X\beta+\epsilon\\ P^{-1}y &= P^{-1}X\beta + P^{-1}\epsilon \end{align}$

ϵ

$\epsilon$

cov (P^{- 1} ϵ) = I

$\text{cov}(P^{-1}\epsilon)=I$ , por lo que ahora podemos tratar esto como un modelo simple de regresión lineal múltiple donde: Entonces tenemos el problema de regresión: La fórmula para es Esta es la clave para hacer esto, el resto es la manipulación algebraica demostrada en la solución por jlimahaverford.

\tilde{X} = P^{- 1} X, \tilde{y} = P^{- 1} y and \tilde{ϵ} = P^{- 1} ϵ .

$\tilde{X}=P^{-1}X,\qquad \tilde{y}=P^{-1}y\quad\text{and}\quad \tilde{\epsilon}=P^{-1}\epsilon.$

\tilde{y} = \tilde{X} β + \tilde{ϵ}

$\tilde{y}=\tilde{X}\beta+\tilde{\epsilon}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\begin{aligned} \hat{β} & = ({\tilde{X}}^{T} \tilde{X})^{- 1} {\tilde{X}}^{T} \tilde{y} \\ = ((P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} X)^{- 1} (P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} y \\ = (X^{T} (P P^{T})^{- 1} X)^{- 1} X (P P^{T})^{- 1} y \\ = (X^{T} H^{- 1} X)^{- 1} X H^{- 1} y \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta} &= (\tilde{X}^T\tilde{X})^{-1}\tilde{X}^T\tilde{y}\\ &=((P^{-1}X)^TP^{-1}X)^{-1}(P^{-1}X)^TP^{-1}y\\ &=(X^T(PP^T)^{-1}X)^{-1}X(PP^T)^{-1}y\\ &=(X^TH^{-1}X)^{-1}XH^{-1}y \end{align}$

— Gumeo
fuente