¿Cuál es la distribución para el máximo (mínimo) de dos variables aleatorias normales independientes?

Específicamente, suponga que e Y son variables aleatorias normales (independientes pero no necesariamente distribuidas de manera idéntica). Dado cualquier particular, una , hay una fórmula agradable para P ( max ( X , Y ) ≤ x ) o conceptos similares? ¿Sabemos que max ( X , Y ) se distribuye normalmente, tal vez una fórmula para la media y la desviación estándar en términos de X e Y ? Revisé los lugares habituales (wikipedia, google) pero no encontré nada.$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

El máximo de dos normales no idénticas se puede expresar como una distribución de inclinación normal de Azzalini. Véase, por ejemplo, un documento de trabajo / presentación de 2007 de Balakrishnan

Una mirada sesgada a las estadísticas de orden bivariado y multivariado
Prof. N. Balakrishnan
Documento de trabajo / presentación (2007)

Un artículo reciente de ( Nadarajah y Kotz - visible aquí ) da algunas propiedades de max $(X,Y)$ :

Nadarajah, S. y Kotz, S. (2008), "Distribución exacta del máximo / mínimo de dos variables aleatorias gaussianas", TRANSACCIONES IEEE EN SISTEMAS DE INTEGRACIÓN DE ESCALA MUY GRANDE (VLSI), VOL. 16, NO. 2, FEBRERO 2008

Para trabajos anteriores, ver:

AP Basu y JK Ghosh, "Identificabilidad de las distribuciones multinormales y otras bajo el modelo de riesgos competitivos", J. Multivariate Anal., Vol. 8, págs. 413–429, 1978

HN Nagaraja y NR Mohan, "Sobre la independencia de la distribución de la vida del sistema y la causa de la falla", Scandinavian Actuarial J., pp. 188-198, 1982.

YL Tong, La distribución normal multivariante. Nueva York: Springer-Verlag, 1990.

También se puede usar un sistema de álgebra computacional para automatizar el cálculo. Por ejemplo, dado$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

$Z = max(X,Y)$

donde estoy usando la Maximumfunción del paquete mathStatica de Mathematica , y Erfdenota la función de error.

Me sorprende que en las respuestas anteriores no se mencione la propiedad más interesante: la distribución de probabilidad acumulativa para el máximo es el producto de las respectivas distribuciones de probabilidad acumulativa.