¿Cuál es la varianza de este estimador?

Quiero estimar la media de una función f, es decir, donde

E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[f(X,Y)]$

X

$X$ e

Y

$Y$ son variables aleatorias independientes. Tengo muestras de f pero no de iid: hay muestras de iid para

Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n}

$Y_1,Y_2,\dots Y_n$ y para cada

Y_{i}

$Y_i$ hay

n_{i}

$n_i$ muestras de

X

$X$ :

X_{i, 1}, X_{i, 2}, \dots, X_{i, n_{i}}

$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

Entonces, en total, tengo muestras $f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

Para estimar la media calculo

μ = \sum_{i = 1}^{n} 1 / n * \sum_{j = 1}^{n_{i}} \frac{f (X_{i, j}, Y_{i})}{n_{i}}

$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$ Obviamente

E_{X, Y} [μ] = E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$ entonces

μ

$\mu$ es un estimador imparcial. Me pregunto ahora qué

V a r (μ)

$Var(\mu)$ , es decir, la varianza del estimador es.

Edición 2: ¿Es esta la varianza correcta? Parece funcionar en el límite, es decir, si n = 1 y todola varianza se convierte en la varianza de las medias. Y sila fórmula se convierte en la fórmula estándar para la varianza de los estimadores. ¿Es esto correcto? ¿Cómo puedo probar que es así?

V a r (μ) = \frac{V a r_{Y} (μ_{i})}{n} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{V a r_{X} (f (X, Y_{i})))}{n_{i} * n^{2}}

$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$

n_{i} = \infty

$n_i=\infty$

n_{i} = 1

$n_i=1$

Editar (ignorar esto):

Así que creo que hice algunos progresos: definamos primero que es un estimador imparcial de. $\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$ $E_X[f(X,Y_i)]$

Usando la fórmula estándar para la varianza podemos escribir:

Esto se puede simplificar a

V a r (μ) = 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} C o v (μ_{l}, μ_{k})

$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$

y debido a que las

s se dibujan independientemente, podemos simplificar esto a

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} V a r (μ_{l}) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{k}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

X_{i j}

$X_{ij}$

Y para la covarianza:

1 / n^{2} (\sum_{i = 1}^{n} 1 / n_{i} V a r (f (X_{i, j}, Y_{i})) + 1 / n^{2} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{k}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

Así que volviendo a conectar esto obtenemos

\begin{aligned} C o v (μ_{l}, μ_{k}) & = C o v (\sum_{j = 1}^{n_{l}} \frac{f (X_{j, l}, Y_{l})}{n_{l}}, \sum_{j = 1}^{n_{k}} \frac{f (X_{j, k}, Y_{k})}{n_{k}}) \\ = \frac{1}{(n_{k} * n_{l})} * C o v (\sum_{j = 1}^{n_{l}} f (X_{j, l}, Y_{l}), \sum_{j = 1}^{n_{k}} f (X_{j, k}, Y_{k})) \\ = \frac{1}{(n_{k} * n_{l})} * \sum_{j = 1}^{n_{l}} \sum_{j = 1}^{n_{k}} C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})) \\ = \frac{n_{k} * n_{l}}{(n_{k} * n_{l})} C o v (f (X_{i, l}, Y_{l}), f (X_{i, k}, Y_{k})) \\ = C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{k})) \end{aligned}

$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$

Ahora tengo varias preguntas:

1 / / {norte}^{2} (\sum_{yo = 1}^{norte} 1 / / {norte}_{yo} V una r (F (X, Y_{yo})) + 1 / / {norte}^{2} \sum_{l = 1}^{norte} \sum_{k = l + 1}^{norte} 2 * C o v (F (X, Y_{l}), F (X, Y_{k})))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

¿Es correcto el cálculo anterior?
¿Cómo puedo estimar partir de las muestras dadas? $Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$
¿La varianza converge a 0 si dejo n ir al infinito?

variance unbiased-estimator estimators

— Benedikt Bünz
fuente

$\ell$ $k$ $k=\ell$ $X_{12}, Y_1$ $X_{22}, Y_2$ $X$ $Y$

$k=\ell$ $Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$ $Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

P3: Sí: después de estas modificaciones, solo tendrá un número lineal de términos en la última suma, por lo que ganará el término cuadrático del denominador.

— eric_kernfeld
fuente

La respuesta a "¿La varianza converge a 0 si dejo n ir al infinito?" Es sí".

— eric_kernfeld