Esta pregunta es de la Introducción a las estadísticas matemáticas de Robert Hogg, sexta versión, pregunta 7.6.7. El problema es :
Deje que se tome una muestra aleatoria de tamaño de una distribución con el pdfnf(x;θ)=(1/θ)exp(−x/θ)I(0,∞)(x)
Encuentre el MLE y el MVUE de .P(X≤2)
Sé cómo encontrar el MLE.
Creo que la idea de encontrar el MVUE es usar Rao-Blackwell y Lehmann y Scheffe. Primero encontramos un estimador imparcial de que puede ser , y sabemos a estadística suficienteP(X≤2)I(0,2)(X1)Y=∑ni=1Xi
Entonces será el MUVE.E[I(0,2)(X1)∣Y]
Para encontrar la expectativa, necesitamos la distribución conjunta de eX1Y=∑ni=1Xi
Estoy atrapado aquí.
El libro tiene una solución, pero no entiendo la solución. La solución dice: encontremos la distribución conjunta de e pero primero dejando que y el jacobiano es uno y luego integramos esas otras variables.Z=X1YV=X1+X2U=X1+X2+X3+...
¿Cómo es que el jacobiano es igual a uno?
La respuesta para la distribución conjunta es
g(z,y;θ)=(y−z)n−2(n−2)!θne−y/θ
¿Cómo conseguimos esto?
Actualización: Como lo sugiere Xi'an (la transformación sugerida en el libro es confusa), hagamos la transformación de la siguiente manera:
Dejar
Y1Y2Y3Y4Yn=X1,=X1+X2,=X1+X2+X3,=X1+X2+X3+X4,⋮=X1+X2+X3+X4+⋯+Xn
entonces
X1X2X3X4Xn=Y1,=Y2−Y1,=Y3−Y2,=Y4−Y3,⋮=Yn−Yn−1
y el jacobiano correspondiente es:
|J|=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x1∂y1∂x2∂y1∂x3∂y1⋮∂xn∂y1∂x1∂y2∂x2∂y2∂x3∂y2⋮∂xn∂y2∂x1∂y3∂x2∂y3∂x3∂y3⋮∂xn∂y3⋯⋯⋯⋯∂x1∂yn∂x2∂yn∂x3∂yn⋮∂xn∂yn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1−10⋮001−1⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮−1000⋮1=1
Dado que son iid [o ], la densidad conjunta de es:X1,X2,…,XnΓ(1,θ)E(1/θ)x1,x2,…,xn
f(x1,x2,…,xn)=1θexp(−x1/θ)×1θexp(−x2/θ)×⋯×1θexp(−xn/θ)Ix1≥0⋯Ixn≥0
Por lo tanto, el pdf conjunto de es(Y1,Y2,…,Yn)
h(y1,y2,…,yn)=1θnexp(−y1/θ)exp[−(y2−y1)/θ]exp[−(y3−y2)/θ]⋯exp[−(yn−yn−1)/θ]|J|Iy1≥0Iy2−y1≥0⋯Iyn−yn−1≥0=1θnexp(−yn/θ)Iy1≥0Iy2≥y1⋯Iyn≥yn−1
A continuación, podemos integrar para obtener el pdf conjunto yy2,y3,…,yn−1y1yn
Gracias a las sugerencias de Xi'an, ahora puedo resolver el problema, daré cálculos detallados a continuación.
g(y1,yn)========∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−3∫ynyn−21θnexp(−yn/θ)dyn−1dyn−2⋯dy3dy21θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−3∫ynyn−2dyn−1dyn−2⋯dy3dy21θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−4∫ynyn−3(yn−yn−2)dyn−2dyn−3⋯dy3dy21θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−5∫ynyn−4(yn−yn−3)22dyn−3dyn−4⋯dy3dy21θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−6∫ynyn−5(yn−yn−4)32×3dyn−4dyn−5⋯dy3dy21θnexp(−yn/θ)∫yny1∫yny2⋯∫ynyn−7∫ynyn−6(yn−yn−5)42×3×4dyn−5dyn−4⋯dy3dy2⋯1θnexp(−yn/θ)(yn−y1)n−2(n−2)!
Cambie a la notación del libro, , obtenemosy=yn,z=y1
g(z,y;θ)=(y−z)n−2θn(n−2)!e−y/θ.
Esto resuelve el problema.