Interpretar los coeficientes de regresión después de varias diferencias

Hay algunas explicaciones que puedo encontrar que describen cómo interpretar los coeficientes de regresión lineal después de diferenciar una serie de tiempo (para eliminar una raíz unitaria). ¿Es tan simple que no hay necesidad de decirlo formalmente?

(Soy consciente de esta pregunta , pero no estaba seguro de cuán general fue su respuesta).

Digamos que estamos interesados en el modelo donde es posiblemente ARMA (p, q). Son los , , ... que son de interés. Específicamente, la interpretación en términos de "un cambio de 1 unidad en resulta en un cambio promedio en de " para $Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t} + +...+\beta_{p}X_{pt}+ \delta_{t}$ $\delta_{t}$ $\beta_{1}$ $\beta_{2}$ $\beta_{p}$ $X_{i}$ $Y_{t}$ $\beta_{i}$ $i = 1...p.$

Ahora digamos que necesitamos diferenciar debido a la sospecha de no estacionariedad de una raíz unitaria (por ejemplo, Prueba ADF). También necesitamos diferenciar de la misma manera, cada una de las . $Y_{t}$ $X_{it}$

¿Cuál es la interpretación de si: $\beta_{i}$

La primera diferencia se toma de y cada una de las ? $Y'_{t}$ $Y_{t}$ $X_{it}$
La segunda diferencia (diferencia de la diferencia) ( ) se toma de y cada una de las ? $Y''_{t}$ $Y_{t}$ $X_{it}$
Se toma una diferencia estacional (p. Ej. $(1-B^{12})$ para datos mensuales) de $Y_{t}$ y cada una de las $X_{it}$ ?

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Encontré un texto que menciona diferencias e interpretación de coeficientes y suena muy similar a la pregunta vinculada. Esto es de Alan Pankratz Forecasting with Dynamic Regression páginas 119-120:

— B_Miner
fuente

¿Puedo suponer que las series temporales son mensuales? ¿Que las Y y las X son transformaciones logarítmicas de variables económicas?

La pregunta es más acerca de la interpretación general y si varias formas de diferenciación, tal vez con errores ARMA, cambian la interpretación de la regresión indiferenciada. Entonces, no, no conectado :)

— B_Miner

Sí, pero la interpretación puede ser tan simple como es el aumento en el crecimiento de para un aumento unitario en el crecimiento de . Donde 'crecimiento' es el crecimiento de mes a mes para su pregunta uno y el 'crecimiento' de año a año para su pregunta. El crecimiento es el crecimiento absoluto de y, pero si y es la transformación logarítmica de entonces es el crecimiento relativo de z. ¿Es ese tipo de interpretación lo que estás pidiendo?

β_{1}

$\beta_1$

y

$y$

x_{1}

$x_1$

z

$z$

Este comentario se suma a mi confusión sobre el tema. Encuentro ejemplos en los que la interpretación no cambia en absoluto porque las versiones beta no cambian después de la diferenciación, pero usted implica (creo) que uno necesita usar la palabra crecimiento, lo que implica (creo) que la interpretación cambia a los datos diferenciados ( cambio en Y, cambio en X).

— B_Miner

Respuesta algo relacionada aquí .

— Richard Hardy

Respuestas:

Tomemos un ejemplo con una variable independiente porque es más fácil de escribir.

Al comenzar desde , lo mismo vale para . $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $y_{t-1}=\beta_0 + \beta_1 x_{t-1}$

Entonces, si resto los dos, obtengo . Por lo tanto, la interpretación del coeficiente qué no cambia, es la misma en cada una de estas ecuaciones. $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $\beta_1$

Pero la interpretación de la ecuación no es la misma que la interpretación de la ecuación . Eso es lo que quiero decir. $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$

Entonces es el cambio en para un cambio unitario en pero también es el cambio en el crecimiento de para un cambio unitario en el crecimiento de . $\beta_1$ $y$ $x$ $y$ $x$

La razón de la diferenciación es 'técnica': si las series no son estacionarias, entonces no puedo estimar con OLS. Si las series diferenciadas son estacionarias, entonces puedo usar la estimación de de la ecuación como una estimación de en la ecuación , porque es lo mismo . $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Entonces, diferenciar es un truco 'técnico' para encontrar una estimación de en cuando las series no son estacionarias. El truco hace uso del hecho de que el mismo aparece en la ecuación diferenciada. $\beta_1$ $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Obviamente, esto no es diferente si hay más de una variable independiente.

Nota: todo esto es consecuencia de la linealidad del modelo, si entonces , entonces es al mismo tiempo el cambio en para una unidad cambio en pero también el cambio en el crecimiento de y para un cambio unitario en el crecimiento de , es el mismo . $y=\alpha x + \beta$ $\Delta y = \alpha \Delta x$ $\alpha$ $y$ $x$ $x$ $\alpha$

Entonces la interpretación es en ambos sentidos. Pero el punto principal es que si hay diferencias (cualquier tipo de las tres en mi pregunta o combinaciones de las mismas), la beta original no diferenciada aún se estima (por lo que la pregunta de investigación original de interés aún está disponible). ¿Correcto? ¿Eso todavía se mantiene si hay errores de Arma?

— B_Miner

Bueno, si estima la de la ecuación diferenciada, entonces esta estimada también es una estimación de la en la ecuación indiferenciada (porque es la misma ). El punto es que, en la ecuación para la que hace la estimación, la serie debe ser estacionaria, entonces todo está bien (de lo contrario, no obtendrá estimadores con propiedades deseables como la imparcialidad). Por supuesto, una desventaja es que no puede estimar de esta manera, por lo que si desea una estimación de tendrá que considerar la .

β_{1}

$\beta_1$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

β_{0}

$\beta_0$

β_{0}

$\beta_0$

Una intercepción rara vez es de interés, aunque parece, más importante es el B1 a BP que son los coeficientes de las variables de interés continuas o ficticias. Y solo para aclarar, ¿nada cambia a este respecto si los errores no son iid pero usamos errores ARMA? Supongo que hay que tener en cuenta que en la interpretación con o sin diferencias correctas (ya que "todo lo demás es igual" incluye valores rezagados (con AR) de y que se controlan).

— B_Miner

Los errores ARMA no cambian nada a la interpretación. La única cuestión técnica es que, después de la diferenciación, debe tener series estacionarias; de lo contrario, la estimación de está sesgada, por lo que si tiene errores ARMA pero después de la diferenciación obtiene series estacionarias, entonces, en mi opinión, todo está bien.

β_{1}

$\beta_1$

Para la diferenciación estacional, también obtiene el mismo en la ecuación diferenciada que en la ecuación 'original', por lo que todo sigue siendo válido. De hecho, hagas lo que hagas, siempre que puedas demostrar que después de las manipulaciones tienes el mismo el razonamiento sigue siendo válido.

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

Tome la última función de transferencia y vuelva a expresarla como una ecuación pura del lado derecho. De esta forma será una PDL o ADL. La interpretación luego seguirá como de costumbre. Implementé esa opción en AUTOBOX y la llamé el lado DERECHO. Si publica un conjunto de datos y el modelo que desea utilizar, con gusto publicaré los resultados.

EDITADO: PARA PRESENTAR UN EJEMPLO ILUSTRATIVO PARA PROBAR LA HIPÓTESIS DE COEFICIENTES IGUALES:

Tomé el conjunto de datos GASX (X primero y luego Y) del texto de Box-Jenklins disponible aquí http://www.autobox.com/stack/GASX.ASC y estimé una función de transferencia en la serie indiferenciada y obtuve

Luego introduje la diferenciación simple en Y y X y obtuve . Se rechaza la hipótesis de que los coeficientes son los mismos. Los coeficientes son similares pero definitivamente no son los mismos. Luego intenté introducir un coeficiente MA (cerca de 1.) para completar el ejercicio algebraico de multiplicar por [1-B] pero eso tampoco reprodujo los resultados no diferenciados.

En resumen: la respuesta es que son diferentes, pero eso puede deberse al término constante omitido en el caso no diferenciado.

Decidí simular dos series de ruido blanco (X1 e Y1) y estimar un modelo OLS para ellas sin un término constante y lo obtuve. Luego integré las series X1 y Y1 white nosie y obtuve dos nuevas series (X2 e Y2). El siguiente es el resultado de un modelo OLS para X2 Y Y2 [ ingrese la descripción de la imagen aquí ] [4 El coeficiente de regresión resultante es casi idéntico (pequeña variación debido a 1 observación menos en el estudio X2, Y2. Por lo tanto, puedo concluir que el caso está probado (o no) rechazado) que los coeficientes de regresión son comparables. Tenga en cuenta que cuando introduje una constante en (X1 versus Y1) el coeficiente de regresión no era el mismo. Aparentemente, existe el requisito de que no se incorpore ninguna constante en el caso base (indiferenciado). los hallazgos concuerdan con @f coppens.

— IrishStat
fuente

No sigo - función de transferencia? ¿Puedes mostrar lo que quieres decir?

— B_Miner

Una función de transferencia general toma la forma: Yt = μ + [(ω0 − ω1B1 −.....− ωsBs) / 1 − δ1B1 −... δrBr)] Xt − b + et donde et puede tener alguna estructura de arima

— IrishStat

¿Debo de su respuesta que la interpretación de realmente cambia con la diferencia? No estoy seguro de cómo construir una función de transferencia de lo que tengo en mi pregunta.

β_{i}

$\beta_{i}$

— B_Miner

La interpretación de βi cuando no hay diferencia en efecto es que el nivel de Y se ve afectado, mientras que si la diferencia está en su lugar, el cambio en Y se ve afectado.

— IrishStat

Mira el enlace en mi pregunta. Parece decir aquí que la interpretación para un modelo diferenciado es exactamente la misma que la de los niveles. ¿Estás sugiriendo que este no es el caso? Estoy confundido por lo que parecen ser diferencias (sin juego de palabras) en las respuestas.

— B_Miner