¿Cuál es la condición necesaria para que un estimador imparcial sea UMVUE?

Según el teorema de Rao-Blackwell , si el estadístico es suficiente y completo para , y , entonces es un estimador imparcial uniformemente de varianza mínima (UMVUE).$T$$\theta$$E(T)=\theta$$T$

Me pregunto cómo justificar que un estimador imparcial es un UMVUE:

1. Si no es suficiente, ¿puede ser un UMVUE?$T$
2. si no está completo, ¿puede ser un UMVUE?$T$
3. Si no es suficiente o completo, ¿puede ser un UMVUE?$T$

Sobre la estimación mínima uniforme de la varianza imparcial cuando no existen estadísticas suficientes completas de L. Bondesson, se dan algunos ejemplos de UMVUE que no son estadísticas suficientes completas, incluida la siguiente:

Supongamos que son observaciones independientes de una variable aleatoria , donde y son desconocidas, e se distribuye gamma con el parámetro de forma conocido y el parámetro de escala conocido . Entonces es el UMVUE de . Sin embargo, cuando no hay estadística suficiente completa para .$X_1, \ldots, X_n$$X = \mu + \sigma Y$$\mu$$\sigma$$Y$$k$$\theta$$\bar{X}$$E(X) = \mu + k\theta\sigma$$k \neq 1$$(\mu, \sigma)$

Demostremos que puede haber un UMVUE que no es una estadística suficiente.

En primer lugar, si el estimador toma (digamos) el valor en todas las muestras, entonces claramente es un UMVUE de , que puede considerarse una función (constante) de . Por otro lado, este estimador claramente no es suficiente en general.$T$$0$$T$$0$$\theta$$T$

Es un poco más difícil encontrar un UMVUE del parámetro "completo" desconocido (en lugar de un UMVUE de una función del mismo) de modo que no sea suficiente para . Por ejemplo, supongamos que los "datos" son dados por un rv normal , donde es desconocido. Claramente, es suficiente y completo para . Sea si e si , y sea ; como de costumbre, denotamos por y$Y$$\theta$$Y$$\theta$$X\sim N(\tau,1)$$\tau\in\mathbb{R}$$X$$\tau$$Y=1$$X\ge0$$Y=0$$X<0$
$\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$$\Phi$$\varphi$, respectivamente, el cdf y el pdf de . Entonces, el estimador es imparcial para y es una función de la estadística completa suficiente . Por lo tanto, es un UMVUE de .$N(0,1)$
$Y$$\theta=\Phi(\tau)$$X$$Y$$\theta=\Phi(\tau)$

Por otro lado, la función es continua y aumenta estrictamente en , de a . Entonces, la correspondencia es una biyección. Es decir, podemos volver a parametirizar el problema, de a , de manera individual . Por lo tanto, es un UMVUE de , no solo para el parámetro "antiguo" , sino también para el parámetro "nuevo" . Sin embargo, no es suficiente para y, por lo tanto, no es suficiente para$\Phi$$\mathbb{R}$$0$$1$$\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$\tau$$\theta\in(0,1)$$Y$$\tau$$\theta$ . De hecho, como ; aquí usamos la equivalencia asintótica conocida como , que sigue la regla l'Hospital. Entonces, depende de y, por lo tanto, de , lo que muestra que no es suficiente para (mientras que

$$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$$ $\tau\to\infty$$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$$\tau\to\infty$$\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$Y$ es un UMVUE para ).$\theta$