¿Cómo demostrar que un evento ocurre infinitamente a menudo (casi seguro)?

Ejercicio: hay un dado de 6 caras y una moneda sesgada que tiene una probabilidad p> 0 de aparecer cara en cada lanzamiento. El dado se lanza infinitamente a menudo, y cada vez que tira un 6, arroja la moneda. Demuestre que con probabilidad 1, arroja "cabezas" infinitamente a menudo.

Ahora, recibo esta pregunta intuitivamente; las tiradas infinitas de los dados significan infinitas apariciones de cada número en el dado, incluido el 6, lo que significa que la moneda también se lanzará un número infinito de veces y dado que hay una posibilidad garantizada de que las caras sean un resultado, también obtendremos un número infinito de cabezas

Sin embargo, no estoy seguro de cómo expresar esto en notación matemática y espero que alguien aquí pueda ayudarme.

El espacio muestral consta de siete resultados posibles: "1" a "5" en el dado, "6" y "colas", y "6" y "cabezas". Vamos a abreviar estos como$\Omega=\{1,2,3,4,5,6T,6H\}$.

Los eventos serán generados por los átomos. $\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6H\}$ y por lo tanto todos los subconjuntos de $\Omega$ son medibles

La medida de probabilidad $\mathbb{P}$está determinado por sus valores en estos átomos. La información en la pregunta, junto con la suposición (razonable) de que el lanzamiento de la moneda es independiente del lanzamiento del dado, nos dice que esas probabilidades son las que se dan en esta tabla:

$$\begin{array}{lc} \text{Outcome} & \text{Probability} \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ \text{6T} & \frac{1-p}{6} \\ \text{6H} & \frac{p}{6} \end{array}$$

Una secuencia de realizaciones independientes de $X$ es una secuencia $(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots)$ todos cuyos elementos están en $\Omega$. Llamemos al conjunto de todas esas secuencias$\Omega^\infty$. El problema básico aquí radica en tratar con secuencias infinitas . La idea motivadora detrás de la siguiente solución es seguir simplificando el cálculo de probabilidad hasta que pueda reducirse a calcular la probabilidad de un evento finito . Esto se hace por etapas.

Primero, para discutir las probabilidades, necesitamos definir una medida sobre $\Omega^\infty$ que hace eventos como "$6H$ ocurre infinitamente a menudo "en conjuntos medibles. Esto puede hacerse en términos de conjuntos" básicos "que no implican una especificación infinita de valores. Ya que sabemos cómo definir probabilidades $\mathbb{P}_n$en el conjunto de secuencias finitas de longitud$n$, $\Omega^n$, definamos la "extensión" de cualquier medida $E \subset \Omega^n$ consistir en todas las secuencias infinitas $\omega\in\Omega^\infty$ que tienen algún elemento de $E$ como su prefijo:

$$E^\infty = \{(\omega_i)\in\Omega^\infty\,|\, (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in E\}.$$

El más pequeño sigma-álgebra en $\Omega^\infty$ que contiene todos esos conjuntos es con el que trabajaremos.

La medida de probabilidad $\mathbb{P}_\infty$ en $\Omega^\infty$ está determinado por las probabilidades finitas $\mathbb{P}_n$. Es decir, para todos$n$ y todo $E\subset \Omega^n$,

$$\mathbb{P}_\infty(E^\infty) = \mathbb{P}_n(E).$$

(Las declaraciones anteriores sobre el álgebra sigma en $\Omega^\infty$ y la medida $\mathbb{P}_\infty$ son formas elegantes de llevar a cabo lo que equivaldrá a argumentos limitantes).

Una vez gestionados estos trámites, podemos hacer los cálculos. Para comenzar, necesitamos establecer que incluso tiene sentido discutir la "probabilidad" de$6H$ocurriendo infinitamente a menudo. Este evento se puede construir como la intersección de eventos del tipo "$6H$ ocurre al menos $n$ veces ", para $n=1, 2, \ldots$. Debido a que es una intersección contable de conjuntos medibles, es medible, por lo que su probabilidad existe.

En segundo lugar, tenemos que calcular esta probabilidad de $6H$ocurriendo infinitamente a menudo. Una forma es calcular la probabilidad del evento complementario: ¿cuál es la probabilidad de que$6H$ocurre solo finitamente muchas veces? Este evento$E$ será medible, porque es el complemento de un conjunto medible, como ya hemos establecido. $E$ se puede dividir en eventos $E_n$ de la forma "$6H$ ocurre exactamente $n$ veces ", para $n=0, 1, 2, \ldots$. Debido a que solo hay muchos de estos, la probabilidad de$E$ será la suma (contable) de las probabilidades de la $E_n$. ¿Cuáles son estas probabilidades?

Una vez más podemos hacer una partición: $E_n$ rompe en eventos $E_{n,N}$ de la forma "$6H$ ocurre exactamente $n$ veces al rodar $N$y nunca ocurre de nuevo ". Estos eventos son disjuntos y contables en número, por lo que todo lo que tenemos que hacer (¡otra vez!) es calcular sus posibilidades y sumarlas. Pero finalmente hemos reducido el problema a un cálculo finito :$\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$no es mayor que la posibilidad de cualquier evento finito de la forma "$6H$ ocurre para el $n^\text{th}$ tiempo al rodar $N$ y no ocurre entre rollos $N$ y $M \gt N$"El cálculo es fácil porque realmente no necesitamos conocer los detalles: cada vez $M$ aumenta en $1$, la posibilidad, cualquiera que sea, se multiplica aún más por la posibilidad de que $6H$ no está enrollado, que es $1-p/6$. De este modo obtenemos una secuencia geométrica con relación común$r = 1-p/6 \lt 1$. Independientemente del valor inicial, crece arbitrariamente a medida que$M$ se hace grande

(Note que no necesitamos tomar un límite de probabilidades: solo necesitamos mostrar que la probabilidad de $E_{n,N}$ está limitado anteriormente por números que convergen a cero).

Por consiguiente $\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ no puede tener ningún valor mayor que $0$, de donde debe ser igual $0$. En consecuencia,

$$\mathbb{P}_\infty(E_n) = \sum_{N=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_{n,N}) = 0.$$

¿Dónde estamos? Acabamos de establecer que para cualquier$n \ge 0$, la posibilidad de observar exactamente $n$ resultados de $6H$es nulo Al sumar todos estos ceros, concluimos que

$$\mathbb{P}_\infty(E) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_n) = 0.$$ Esta es la posibilidad de que $6H$ocurre solo finitamente muchas veces. En consecuencia, la posibilidad de que$6H$ ocurre infinitamente muchas veces es $1-0 = 1$, QED .

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Cada enunciado en el párrafo anterior es tan obvio que es intuitivamente trivial. El ejercicio de demostrar sus conclusiones con cierto rigor, usando las definiciones de álgebras sigma y medidas de probabilidad, ayuda a mostrar que estas definiciones son las correctas para trabajar con probabilidades, incluso cuando están involucradas secuencias infinitas.

Tiene dos buenas respuestas para abordar la pregunta utilizando principios básicos de probabilidad. Aquí hay dos teoremas que lo ayudan a responder esta pregunta rápidamente en situaciones donde tales soluciones son apropiadas:

La Ley Fuerte de Números Grandes (SLLN) le dice que para variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media finita, la media de la muestra converge a la media verdadera casi con seguridad.

El segundo lema de Borel-Cantelli (BC2) le dice que si la suma de probabilidades de una secuencia de eventos independientes es infinita, entonces infinitamente muchos de esos eventos sucederán casi con seguridad.

Así es como esto responde su pregunta usando SLLN:

Dejar $Y_i$ toma el valor 1 si sacas 6 y giras cabezas de prueba $i$, y cero en caso contrario. Entonces$Y_i$ es una variable aleatoria de Bernoulli con probabilidad de éxito $\theta:=p/6>0$. Por el SLLN,$\sum_{i=1}^n Y_i/n \to \theta$casi seguro Pero entonces debemos tener$\sum_{i=1}^n Y_i \to \infty$ casi seguro, que es lo que queríamos mostrar.

Así es como esto responde su pregunta usando BC2:

Dejar $E_i$ sea ​​el caso de que saque 6 y voltee cabezas en el juicio $i$. Entonces$P(E_i)=p/6>0$, para cada $i$, y consecuentemente $\sum_{i=1}^nP(E_i)\to\infty$. Así, por BC2 infinitamente muchos de los eventos$E_i$ ocurrirá casi con seguridad, que es lo que queríamos mostrar.

Insisto en que ambas respuestas requieren una gran cantidad de maquinaria oculta en dos teoremas, y cualquier persona interesada en responder a esta y otras preguntas similares tendrá que decidir si son apropiadas.

Sin depender de ningún tipo de teoría de probabilidad avanzada como en la respuesta de RayVelcoro, se podría proceder de la siguiente manera. Dejar$I_j$ denotar el evento de que las cabezas finales se obtuvieron en el $j^{\text{th}}$Lanzamiento del dado. Entonces, por aditividad contable, la probabilidad de un número finito de cabezas es

$$\sum_{j=0}^\infty P(I_j) \stackrel{?}{=} 0.$$ Ahora es suficiente demostrar que $P(I_j) = 0$ para todos $j$. Para hacer esto, deje$A_{j,n}$ denotar el evento que "después $n$ tira el dado, la última cabeza ocurrió en el $j^{\text{th}}$ rodar ". Ahora, claramente $I_j \subseteq A_{j,n}$ para todos $n$, y por lo tanto $P(I_j) \le P(A_{j,n})$; tomar$n \to \infty$ para ver eso $P(I_j) \le \lim_{n \to \infty} P(A_{j,n}) = 0$. $P(A_{j,n})$ se puede calcular directamente de la manera obvia (es la probabilidad de un éxito seguido de $n-j - 1$ fallas por independencia).

(EDITAR: Esto puede ser más o menos equivalente a la respuesta de @whuber, pero con un poco menos de formalidad / detalle, ya que supongo que OP no está en un marco de medida teórica).