Encuentra el MVUE único


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Esta pregunta es de la Introducción a las estadísticas matemáticas de Robert Hogg, problema 7.4.9 de la sexta versión en la página 388.

Deje ser iid con pdf cero en otro lugar, donde .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,θ<x<2θ,θ>0

(a) Encuentre el mle deθ^θ

(b) ¿Es una estadística suficiente para ? Por qué ?θ^θ

(c) ¿Es la MVUE única de ? Por qué ?(n+1)θ^/nθ

Creo que puedo resolver (a) y (b), pero estoy confundido por (c).

Para):

Deje ser las estadísticas del pedido.Y1<Y2<...Yn

L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n cuando e ; en otro lugarθ<y1yn<2θL(θ;x)=0

dL(θ;x)dθ=n(3θ)n1 , ya que , podemos ver que esta derivada es negativa,θ>0

entonces la función de probabilidad está disminuyendo.L(θ;x)

De e , y (θ<y1yn<2θ) (θ>y1θ>yn/2),θ>max(y1,yn/2)

θ θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 ) θ = m a x ( - y 1 , y n / 2 )L(θ,x) está disminuyendo, por lo que cuando tiene el valor más pequeño, la función de probabilidad alcanzará el máximo, ya que , cuando , la función de probabilidad alcanzará el valor máximo.θθ>max(y1,yn/2)θ=max(y1,yn/2)

mleθ^=max(y1,yn/2)

Para (b):

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1

teorema de factorización de Neyman, es una estadística suficiente para . Por lo tanto, también es una estadística suficienteyn=max(xi)θyn/2

Lo mismo

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>θ)×1

teorema de factorización de Neyman, es una estadística suficiente para . Por lo tanto, también es una suficiente.y1=min(xi)θy1

Para (c):

Primero, encontramos el CDF deX

F(x)=θx13θdt=x+θ3θ,θ<x<2θ

A continuación, podemos encontrar el pdf para y en la fórmula del libro para las estadísticas del pedido.Y1Yn

f(y1)=n!(11)!(n1)![F(y1)]11[1F(y1)]n1f(y1)=n[1y1+θ3θ]n113θ=n1(3θ)n(2θy1)n1

Lo mismo

f(yn)=n(yn+θ3θ)n113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n1

A continuación, se muestra la integridad de la familia del pdf para yf(y1)f(yn)

E[u(Y1)]=θ2θu(y1)n1(3θ)n(2θy1)n1dy1=0θ2θu(y1)(2θy1)dy1=0 . Por (derivar la integral) podemos mostrar para todos .FTCu(θ)=0θ>0

Por lo tanto, la familia de pdf está completa.Y1

Del mismo modo, aún por , podemos mostrar que la familia de pdf está completa.FTCYn

El problema ahora es que debemos demostrar que es imparcial.(n+1)θ^n

Cuandoθ^=y1

E(y1)=θ2θ(y1)n(3θ)n(2θy1)n1dy1=1(3θ)nθ2θy1d(2θy1)n

Podemos resolver la integral integrando por partes

E(y1)=1(3θ)n[y1(2θy1)nθ2θθ2θ(2θy1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n(3θ)n+1n+1]=θ3θn+1=(n2)θn+1

E((n+1)θ^n)=n+1nE(y1)=n+1n(n2)θn+1=n2nθ

Por lo tanto, no es un estimador imparcial de cuando(n+1)θ^nθθ^=y1

Cuandoθ^=yn/2

E(Yn)=θ2θynn(3θ)n(yn+θ)n1dyn=1(3θ)nθ2θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)nθ2θθ2θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)(3θ)n+1n+1]=2θ3θn+1=2n1n+1θ

E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n1n+1θ=2n12nθ

Aún así, no es un estimador imparcial de cuando(n+1)θ^nθθ^=yn/2

Pero la respuesta del libro es que es un MVUE único. No entiendo por qué es un MVUE si es un estimador sesgado.(n+1)θ^n

O mis cálculos son incorrectos, ayúdame a encontrar los errores, puedo darte cálculos más detallados.

Muchas gracias.


No veo ningún cálculo de la distribución de . θ^
whuber

Gracias, whuber, the . Es o depende de cuál es más grande. Calculé las distribuciones tanto para como para . Se puede ver y en el texto. θ^=max(y1,yn/2)y1yn/2y1ynf(y1)=n1(3θ)n(2θy1)n1f(yn)=n1(3θ)n(yn+θ)n1
Deep North

Y a partir de las dos distribuciones anteriores, y luegoE(θ^)=E(Y1)E(θ^)=E(Yn/2)E(n+1nθ^)
Norte profundo

Respuestas:


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Trabajar con extremos requiere cuidado, pero no tiene que ser difícil. La pregunta crucial, que se encuentra cerca del medio de la publicación, es

... necesitamos mostrar que es imparcial.n+1nθ^n

Anteriormente obtuviste

θ^=max(y1,yn/2)=max{min{yi},max{yi}/2}.

A pesar de que se ve desordenado, los cálculos se vuelven primaria cuando se tiene en cuenta la función de distribución acumulativa . Para comenzar con esto, tenga en cuenta que . Sea un número en este rango. Por definición,F0θ^θt

F(t)=Pr(θ^t)=Pr(y1<t and yn/2t)=Pr(ty1y2yn2t).

Esta es la posibilidad de que todos los valores se encuentren entre y . Esos valores vinculan un intervalo de longitud . Debido a que la distribución es uniforme, la probabilidad de que cualquier específico se encuentre en este intervalo es proporcional a su longitud:nt2t3tyi

Pr(yi[t,2t])=3t3θ=tθ.

Debido a que son independientes, estas probabilidades se multiplican, dandoyi

F(t)=(tθ)n.

La expectativa se puede encontrar inmediatamente integrando la función de supervivencia durante el intervalo de valores posibles para , , usando para la variable:1Fθ^[0,θ]y=t/θ

E(θ^)=0θ(1(tθ)n)dt=01(1yn)θdy=nn+1θ.

(Esta fórmula para la expectativa se deriva de la integral habitual a través de la integración por partes. Los detalles se proporcionan al final de https://stats.stackexchange.com/a/105464 ).

Reescalando por da(n+1)/n

E(n+1nθ^)=θ,

QED .


Hay un error tipográfico para la última fórmula, debería ser notθ^θ^n
Deep North

@ Profundo ¡Oh, por supuesto! Gracias por señalar eso. Ahora está arreglado.
whuber
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