Esta pregunta es de la Introducción a las estadísticas matemáticas de Robert Hogg, problema 7.4.9 de la sexta versión en la página 388.
Deje ser iid con pdf cero en otro lugar, donde .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,θ>0
(a) Encuentre el mle deθ^θ
(b) ¿Es una estadística suficiente para ? Por qué ?θ^θ
(c) ¿Es la MVUE única de ? Por qué ?(n+1)θ^/nθ
Creo que puedo resolver (a) y (b), pero estoy confundido por (c).
Para):
Deje ser las estadísticas del pedido.Y1<Y2<...Yn
L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n cuando e ; en otro lugar−θ<y1yn<2θL(θ;x)=0
dL(θ;x)dθ=−n(3θ)n−1 , ya que , podemos ver que esta derivada es negativa,θ>0
entonces la función de probabilidad está disminuyendo.L(θ;x)
De e , y (−θ<y1yn<2θ)⇒ (θ>−y1θ>yn/2),⇒θ>max(−y1,yn/2)
θ θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 ) θ = m a x ( - y 1 , y n / 2 )L(θ,x) está disminuyendo, por lo que cuando tiene el valor más pequeño, la función de probabilidad alcanzará el máximo, ya que , cuando , la función de probabilidad alcanzará el valor máximo.θθ>max(−y1,yn/2)θ=max(−y1,yn/2)
∴ mleθ^=max(−y1,yn/2)
Para (b):
f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1
∴ teorema de factorización de Neyman, es una estadística suficiente para . Por lo tanto, también es una estadística suficienteyn=max(xi)θyn/2
Lo mismo
f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)n∏niI(−θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>−θ)×1
∴ teorema de factorización de Neyman, es una estadística suficiente para . Por lo tanto, también es una suficiente.y1=min(xi)θ−y1
Para (c):
Primero, encontramos el CDF deX
F(x)=∫x−θ13θdt=x+θ3θ,−θ<x<2θ
A continuación, podemos encontrar el pdf para y en la fórmula del libro para las estadísticas del pedido.Y1Yn
f(y1)=n!(1−1)!(n−1)![F(y1)]1−1[1−F(y1)]n−1f(y1)=n[1−y1+θ3θ]n−113θ=n1(3θ)n(2θ−y1)n−1
Lo mismo
f(yn)=n(yn+θ3θ)n−113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n−1
A continuación, se muestra la integridad de la familia del pdf para yf(y1)f(yn)
E[u(Y1)]=∫2θ−θu(y1)n1(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=0⇒∫2θ−θu(y1)(2θ−y1)dy1=0 . Por (derivar la integral) podemos mostrar para todos .FTCu(θ)=0θ>0
Por lo tanto, la familia de pdf está completa.Y1
Del mismo modo, aún por , podemos mostrar que la familia de pdf está completa.FTCYn
El problema ahora es que debemos demostrar que es imparcial.(n+1)θ^n
Cuandoθ^=−y1
E(−y1)=∫2θ−θ(−y1)n(3θ)n(2θ−y1)n−1dy1=1(3θ)n∫2θ−θy1d(2θ−y1)n
Podemos resolver la integral integrando por partes
E(−y1)=1(3θ)n[y1(2θ−y1)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(2θ−y1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n−(3θ)n+1n+1]=θ−3θn+1=(n−2)θn+1
∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(−y1)=n+1n(n−2)θn+1=n−2nθ
Por lo tanto, no es un estimador imparcial de cuando(n+1)θ^nθθ^=−y1
Cuandoθ^=yn/2
E(Yn)=∫2θ−θynn(3θ)n(yn+θ)n−1dyn=1(3θ)n∫2θ−θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)n∣2θ−θ−∫2θ−θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)−(3θ)n+1n+1]=2θ−3θn+1=2n−1n+1θ
∴E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n−1n+1θ=2n−12nθ
Aún así, no es un estimador imparcial de cuando(n+1)θ^nθθ^=yn/2
Pero la respuesta del libro es que es un MVUE único. No entiendo por qué es un MVUE si es un estimador sesgado.(n+1)θ^n
O mis cálculos son incorrectos, ayúdame a encontrar los errores, puedo darte cálculos más detallados.
Muchas gracias.