¿El orden convexo implica el dominio de la cola derecha?

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Dadas dos distribuciones continuas $\mathcal{F}_X$ y , no me queda claro si la relación de dominio convexo entre ellas: $\mathcal{F}_Y$

(0 0) F_{X} <_{C} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

implica que

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5 0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

se mantiene o si se necesitan algunas hipótesis adicionales si es para mantener? $(1)$

Definición de dominio convexo.

Si dos distribuciones continuas y satisfacen: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (X) es convexo en X

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] luego escribimos:

F_{X} <_{C} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

y decir que $\mathcal{F}_Y$ está más sesgado que $\mathcal{F}_X$ . Debido a que $F_X$ y $F_Y$ son distribuciones de probabilidad, $(2)$ también implica que la derivada de $F_Y^{-1}F_X(x)$ es monotónicamente no decreciente y no negativa [1], que $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ es convexo [2], que $F_X$ y $F_{aY+b}$ cruzan como máximo dos veces $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ [2] y que [2], para $\forall p\in[0,0.5]$ :

\frac{F_{X}^{- 1} (pag)}{F_{Y}^{- 1} (pag)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - pag)}{F_{Y}^{- 1} (1 - pag)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Transformaciones convexas de variable aleatoria. (1964) Amterdam: Centro de Matemáticas.
[1] Oja, H. (1981). En ubicación, escala, inclinación y curtosis de distribuciones univariadas. Revista escandinava de estadística. Vol. 8, págs.154-168
[2] RA Groeneveld y G. Meeden. (1984) Medición de asimetría y curtosis. El estadístico. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions

— usuario603
fuente

1

Supongo que hay algún error en la última desigualdad: si contiene , la simetría implicaría igualdad , que a su vez sería simétrica wrt vs. .

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala

1

Tenga en cuenta que hay después de la ecuación (6) de [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala

estás en lo correcto. Culpa mía. Arreglo esto ahora.

— user603

2

En general no es cierto. Considere, por ejemplo, y . $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Inmediatamente puede ver que . Sin embargo, . Sin embargo, es cierto que desde cierto adelante, para todos los . $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— usuario123456
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¿Podría por favor agregar algunas explicaciones a esta respuesta? ¡Es un poco corto para nuestros estándares!

— kjetil b halvorsen

4

Ok, creo que esto puede resolverse así (comentarios bienvenidos):

Denotando y las distribuciones de e y recordando que $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{C} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

implica (Oja, 1981) que tal que: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Dado que el desplazamiento no afecta el orden convexo, podemos suponer sin pérdida de generalidad que se ha desplazado para que: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5 0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5 0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

así que eso

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5 0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Entonces, parece que sí , el orden convexo de implica el dominio de la cola derecha de sobre (o para ser precisos alguna versión de ) $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— usuario603
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