Distribución de una proporción de uniformes: ¿qué está mal?

Suponer que $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias uniformes iid en el intervalo $[0,1]$

Dejar $Z=X/Y$ , Estoy encontrando el cdf de $Z$ es decir $\Pr(Z\leq z)$ .

Ahora, se me ocurrieron dos formas de hacer esto. Uno produce una respuesta correcta consistente con el pdf aquí: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , el otro no. ¿Por qué está mal el segundo método?

Primer método

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Esto parece correcto.

Segundo método

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ por probabilidad total

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Tomar produce $z>1$ $(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

Esto ya es diferente. ¿Por qué está mal esto?

¡Gracias!

— Junier
fuente

Aquí hay una pista .

Considere cuidadosamente el término . En particular, para la concreción, elija , de modo que consideremos el evento . $\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$ $z = 2$ $\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Ahora, mire esta imagen (que está muy relacionada con la probabilidad anterior).

Gráfico de probabilidad condicional para la proporción de uniformes

Ahora, ¿esa probabilidad condicional depende de nuestra elección particular de ? $z$

— cardenal
fuente

Supongo que la descripción más formal de la imagen es: Sea , podemos ver que el pdf para es entonces Pero todavía no entiendo por qué configurar la integral como lo hice antes no funciona. Incluso si el valor de z no juega un papel real, ¿por qué establecer el límite integral de x en zy y luego establecer el límite integral de y en 1 / z no rectifica esto?

R = z Y

$R = zY$

R

$R$

1 / z

$1/z$

Pr (X \leq R \land R < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{r} 1 / z d x d r = \frac{1}{2 z}

$\Pr(X \leq R \wedge R < 1) = \int^{1}_{0}\int^{r}_{0} 1/z\ dx\ dr = \frac{1}{2z}$

— Junier

Ah, está bien, creo que tal vez lo tengo. Entonces vamos a tener esta región contraída {(x, y): y <1 / z} en el cuadrado de la unidad, luego vamos a expandir esa región en z entonces {(x, y): y <z / z}. Es decir, toda la unidad cuadra de nuevo. La región donde x <y es 1/2. Pero, ¿cómo formalizamos matemáticamente esta intuición? es decir, siguiendo este contrato, ¿expandir la ruta formalmente? ¿Y cuáles son algunos consejos para evitar este tipo de errores?

— Junier

@Junier Dibujar una imagen a menudo ayuda :-).

— whuber

+1 @whuber. En caso de duda, haga un dibujo. Esto parece aclarar invariablemente los problemas que estoy teniendo.

— Fomite

Depende de qué tan formalmente quieras formalizar esto matemáticamente. Primero tenga en cuenta que es la probabilidad conjunta , no la probabilidad condicional que estaba tratando de calcular. Este es un error bastante común. Tenga en cuenta que dividiendo lo que tiene por recupera la respuesta correcta. (Esto es solo la regla de Bayes.)

\int_{0}^{1 / z} \int_{0}^{z y} d x d y

$\int_0^{1/z} \int_{0}^{zy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

P (0 \leq X \leq z Y, 0 \leq Y \leq 1 / z)

$\mathbb P(0 \leq X \leq zY, 0 \leq Y \leq 1/z)$

P (0 \leq Y \leq 1 / z) = 1 / z

$\mathbb P(0 \leq Y \leq 1/z) = 1/z$

— cardenal