Un paso extraño en una prueba sobre la distribución de formas cuadráticas

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El siguiente teorema proviene de la séptima edición de " Introducción a la estadística matemática " de Hogg, Craig y Mckean y se refiere a la condición necesaria y suficiente para la independencia de dos formas cuadráticas de variables normales.

Este es un extracto bastante largo, pero agradecería algo de ayuda con solo la transición de 9.9.6 a 9.9.7 . He incluido los pasos anteriores solo para dar una idea general en caso de que un resultado anterior se use implícitamente. ¿Podría ayudarme a entender por qué 9.9.6 y 9.9.7 son representaciones equivalentes? He intentado obtener 9.9.7 por mi cuenta, pero todos mis intentos terminaron en frustración.

La prueba continúa después de eso, pero no tengo ningún otro problema. Gracias de antemano.

ingrese la descripción de la imagen aquí

self-study mathematical-statistics quadratic-form

— JohnK
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(9.9.6) establece que Por lo tanto, multiplicando izquierda y derecha por y , obtenemos y No veo ninguna razón para el interior y

A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$ para desaparecer, así que apostaría por un error tipográfico. Sin embargo, la conclusión sigue siendo la misma, a saber, que si y solo si

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

— Xi'an
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Sí, ese fue mi hilo de pensamiento precisamente, gracias. Miré la lista de las erratas de este libro, pero esto no está en él, así que me pareció extremadamente desconcertante.

— JohnK

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Me puse en contacto con el autor, el profesor Joseph W. McKean, quien conoció el error y muy amablemente ofreció la corrección. Lo estoy publicando aquí, en caso de que alguien más estudiando por su cuenta lo necesite.

Después de (9.9.6) escriba:

Deje que denote la matriz en el primer conjunto de llaves. Tenga en cuenta que tiene rango de columna completo, por lo que su núcleo es nulo; es decir, su núcleo consiste en el vector . Deje que denote la matriz en el segundo conjunto de llaves. Tenga en cuenta que tiene rango de fila completo, por lo tanto, el núcleo de es nulo. $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}^{\prime}$

Para la prueba, supongamos que . Entonces $\mathbf{AB}=\mathbf{0}$

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

Debido a que el núcleo de es nulo, esto implica que cada columna de la matriz entre paréntesis es . Esto implica que $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

Del mismo modo, debido a que el núcleo de es nulo, tenemos . Por lo tanto, por ... $\mathbf{V}^{\prime}$ $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ $\left(9.9.5 \right)$

(y la prueba continúa para la otra dirección)

— JohnK
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