En cuanto a la convergencia en la probabilidad


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Sea una secuencia de variables aleatorias st en probabilidad, donde es una constante fija. Estoy tratando de mostrar lo siguiente: y ambos con probabilidad. Estoy aquí para ver si mi lógica era sólida. Aquí esta mi trabajo{Xn}n1Xnaa>0

Xna
aXn1

INTENTO

Para la primera parte, tenemos Tenga en cuenta que De esto se deduce que

|Xna|<ϵ|Xna|<ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xnsqrta)+2a|
ϵ|Xna|+2ϵa<ϵ2+2ϵa
ϵ2+2ϵa>ϵa
P(|Xna|ϵ)P(|Xna|ϵa)1asn
Xnainprobability

Para la segunda parte, tenemos Ahora, dado que X_n \ a a como n \ to \ infty , tenemos que X_n es una secuencia acotada. En otras palabras, no existe un número real M <\ infty st | X_n | \ leq M . Por lo tanto, | X_n-a | <\ epsilon | X_n | \ impliedby | X_n-a | <\ epsilon M Mirándolo con probabilidad, tenemos P (| \ frac {a} {X_n} -1 |> \ epsilon) = P (| X_n-a |> \ epsilon | X_n |) \ leq P (| X_n-a |> \ epsilon M) \ a 0 \; \; as \; n \ to \ infty

|aXn1|=|XnaXn|<ϵ|Xna|<ϵ|Xn|
XnanXnM<|Xn|M
|Xna|<ϵ|Xn||Xna|<ϵM
P(|aXn1|>ϵ)=P(|Xna|>ϵ|Xn|)P(|Xna|>ϵM)0asn

Tengo bastante confianza en el primero, pero soy bastante dudoso en el segundo. ¿Era lógica mi sonido?


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Considere la secuencia donde y . Me parece que desde esta secuencia converge a en probabilidad, pero claramente es ilimitada ya que . XnPr(Xn=a)=11/nPr(Xn=n)=1/n11/n1asup(Xn)=max(a,n)
whuber

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Teorema de mapeo continuo?
Christoph Hanck

Respuestas:


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Los detalles de las pruebas importan menos que desarrollar una intuición y técnicas apropiadas. Esta respuesta se centra en un enfoque diseñado para ayudar a hacer eso. Consiste en tres pasos: una "configuración" en la cual se introducen el supuesto y las definiciones; el "cuerpo" (o un "paso crucial") en el que las suposiciones están de alguna manera relacionadas con lo que se debe probar, y el "desenlace" en el que se completa la prueba. Como en muchos casos con pruebas de probabilidad, el paso crucial aquí es trabajar con números (los posibles valores de variables aleatorias) en lugar de tratar con las variables aleatorias mucho más complicadas.


La convergencia en la probabilidad de una secuencia de variables aleatorias a una constante significa que no importa qué vecindad de elija, eventualmente cada encuentra en esta vecindad con una probabilidad arbitrariamente cercana a . (No explicaré cómo traducir "eventualmente" y "cerrar arbitrariamente" en matemáticas formales; cualquiera que esté interesado en esta publicación ya lo sabe).Yna0Yna1

Recuerde que una vecindad de es cualquier conjunto de números reales que contiene un conjunto abierto del cual es miembro.00

La configuración es de rutina. Considere la secuencia y deje que sea ​​cualquier vecindad de . El objetivo es mostrar que eventualmente tendrá una probabilidad arbitrariamente alta de mentir en . Como es un vecindario, debe haber un para el cual el intervalo abierto . También podemos reducir si es necesario para asegurar . Esto asegurará que las manipulaciones posteriores sean legítimas y útiles.Yn=a/XnO0Yn1OOϵ>0(ϵ,ϵ)Oϵϵ<1

El paso crucial será conectar con . Eso no requiere ningún conocimiento de variables aleatorias en absoluto. El álgebra de las desigualdades numéricas (explotando el supuesto ) nos dice que el conjunto de números , para cualquier , está en correspondencia uno a uno con el conjunto de todos para los cualesYnXna>0 {Yn(ω)|Yn(ω)1(ϵ,ϵ)}ϵ>0Xn(ω)

a1+ϵ<Xn(ω)<a1ϵ.

Equivalentemente

Xn(ω)a(aϵ1+ϵ,aϵ1ϵ)=U.

Como , el lado derecho hecho es un vecindario de . (Esto muestra claramente lo que se descompone cuando )a0U0a=0

Estamos listos para el desenlace.

Debido a que en probabilidad, sabemos que eventualmente cada estará dentro de con probabilidad arbitrariamente alta. De manera equivalente, eventualmente se ubicará dentro de con probabilidad arbitrariamente alta, QED .XnaXnaUYn1(ϵ,ϵ)O


Pido disculpas por una respuesta tan tardía. Ha sido una semana ocupada. ¡Muchas gracias por esto!
Savage Henry el

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Se nos da que

limnP(|Xnα|>ϵ)=0

y queremos mostrar que

limnP(|αXn1|>ϵ)=0

Tenemos eso

|αXn1|=|1Xn(αXn)|=|1Xn||Xnα|

De manera equivalente, estamos examinando el límite de probabilidad

limnP(|1Xn||Xnα|>ϵ)=?0

Podemos dividir la probabilidad en dos probabilidades conjuntas mutuamente excluyentes

P(|1Xn||Xnα|>ϵ)=P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|1)+P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|<1)

Para el primer elemento tenemos la serie de desigualdades

P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|1)P[|Xnα|>ϵ,|Xn|1]P[|Xnα|>ϵ]

La primera desigualdad proviene del hecho de que estamos considerando la región dondees más alto que la unidad y, por lo tanto, su reciproco es más pequeño que la unidad. La segunda desigualdad porque una probabilidad conjunta de un conjunto de eventos no puede ser mayor que la probabilidad de un subconjunto de estos eventos. El límite del término más a la derecha es cero (esta es la premisa), por lo que el límite del término más a la izquierda también es cero. Entonces, el primer elemento de la probabilidad que nos interesa es cero.|Xn|

Para el segundo elemento tenemos

P(|1Xn||Xnα|>ϵ,|Xn|<1)=P(|Xnα|>ϵ|Xn|,|Xn|<1)

Definir. Desde aquíestá acotado, se deduce que se puede hacer arbitrariamente pequeño o grande, por lo que es equivalente a . Entonces tenemos la desigualdadδϵmax|Xn||Xn|δϵ

P[|Xnα|>δ,|Xn|<1]P[|Xnα|>δ]

Nuevamente, el límite en el lado derecho es cero según nuestra premisa, por lo que el límite en el lado izquierdo también es cero. Por lo tanto, el segundo elemento de la probabilidad que nos interesa también es cero. QED


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Para la primera parte, tome y observe que Por lo tanto, para cualquier , que define , tenemos cuando , lo que implica que .x,a,ϵ>0

|xa|ϵ|xa|ϵaa|xa|ϵax+a|(xa)(x+a)|ϵa|xa|ϵa.
ϵ>0δ=ϵa
Pr(|Xna|ϵ)Pr(|Xna|δ)0,
nXnPra

Para la segunda parte, tome nuevamente , y haga trampa con la respuesta de Hubber (este es el paso clave ;-) para definir Ahora, El contrapositivo de esta declaración es x,a,ϵ>0

δ=min{aϵ1+ϵ,aϵ1ϵ}.
|xa|<δaδ<x<a+δaaϵ1+ϵ<x<a+aϵ1ϵa1+ϵ<x<a1ϵ1ϵ<ax<1+ϵ|ax1|<ϵ.
|ax1|ϵ|xa|δ.

Por lo tanto, cuando , lo que implica que .

Pr(|aXn1|ϵ)Pr(|Xna|δ)0,
naXnPr1

Nota: ambos elementos son consecuencia de un resultado más general. En primer lugar, recuerde este Lema: si y solo si para cualquier subsecuencia hay una subsecuencia tal que casi seguramente cuando . Además, recuerde de Real Analysis que es continuo en un punto límite de si y solo si para cada secuencia en sostiene que implica . Por lo tanto, siXnPrX{ni}N{nij}{ni}XnijXjg:ARxA{xn}Axnxg(xn)g(x)ges continuo y casi seguro, entonces y se deduce que casi seguro. Además, siendo continuo y , si seleccionamos cualquier subsecuencia , entonces, usando el Lema, hay una subsecuencia tal que casi seguramente cuando . Pero luego, como hemos visto, se deduce que casi seguramente cuandoXnX

Pr(limng(Xn)=g(X))Pr(limxXn=X)=1,
g(Xn)g(X)gXnPrX{ni}N{nij}{ni}XnijXjg(Xnij)g(X)j. Dado que este argumento es válido para cada subsecuencia , utilizando el Lema en la otra dirección, concluimos que . Por lo tanto, para responder a su pregunta, puede definir funciones continuas y , para , y aplicar este resultado.{ni}Ng(Xn)Prg(X)g(x)=xh(x)=a/xx>0

Zen gracias por tu respuesta. Esto fue muy claro!
Savage Henry
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