Para la primera parte, tome y observe que
Por lo tanto, para cualquier , que define , tenemos
cuando , lo que implica que .x,a,ϵ>0
|x−−√−a−−√|≥ϵ⇒|x−−√−a−−√|≥ϵa−−√a−−√⇒|x−−√−a−−√|≥ϵa−−√x−−√+a−−√⇒|(x−−√−a−−√)(x−−√+a−−√)|≥ϵa−−√⇒|x−a|≥ϵa−−√.
ϵ>0δ=ϵa−−√Pr(|Xn−−−√−a−−√|≥ϵ)≤Pr(|Xn−a|≥δ)→0,
n→∞Xn−−−√→Pra−−√
Para la segunda parte, tome nuevamente , y haga trampa con la respuesta de Hubber (este es el paso clave ;-) para definir
Ahora,
El contrapositivo de esta declaración es
x,a,ϵ>0
δ=min{aϵ1+ϵ,aϵ1−ϵ}.
|x−a|<δ⇒a−δ<x<a+δ⇒a−aϵ1+ϵ<x<a+aϵ1−ϵ⇒a1+ϵ<x<a1−ϵ⇒1−ϵ<ax<1+ϵ⇒∣∣ax−1∣∣<ϵ.
∣∣ax−1∣∣≥ϵ⇒|x−a|≥δ.
Por lo tanto,
cuando , lo que implica que .
Pr(∣∣∣aXn−1∣∣∣≥ϵ)≤Pr(|Xn−a|≥δ)→0,
n→∞aXn→Pr1
Nota: ambos elementos son consecuencia de un resultado más general. En primer lugar, recuerde este Lema: si y solo si para cualquier subsecuencia hay una subsecuencia tal que casi seguramente cuando . Además, recuerde de Real Analysis que es continuo en un punto límite de si y solo si para cada secuencia en sostiene que implica . Por lo tanto, siXn→PrX{ni}⊂N{nij}⊂{ni}Xnij→Xj→∞g:A→RxA{xn}Axn→xg(xn)→g(x)ges continuo y casi seguro, entonces
y se deduce que casi seguro. Además, siendo continuo y , si seleccionamos cualquier subsecuencia , entonces, usando el Lema, hay una subsecuencia tal que casi seguramente cuando . Pero luego, como hemos visto, se deduce que casi seguramente cuandoXn→X
Pr(limn→∞g(Xn)=g(X))≥Pr(limx→∞Xn=X)=1,
g(Xn)→g(X)gXn→PrX{ni}⊂N{nij}⊂{ni}Xnij→Xj→∞g(Xnij)→g(X)j→∞. Dado que este argumento es válido para cada subsecuencia , utilizando el Lema en la otra dirección, concluimos que . Por lo tanto, para responder a su pregunta, puede definir funciones continuas y , para , y aplicar este resultado.
{ni}⊂Ng(Xn)→Prg(X)g(x)=x−−√h(x)=a/xx>0