X, Y son iid de N (0,1). ¿Cuál es la probabilidad de que X> 2Y

Estaba pensando, ya que son de y son independientes, entonces $X, Y$ $N(0,1)$

$X - 2Y$ tiene una distribución de . Entonces tiene una probabilidad de . $N(0, 5)$ $X-2Y > 0$ $1/2$

Lo anterior me parece correcto, aunque parece que entonces tendría una probabilidad de . Eso parece un poco mal. ¿Me equivoqué? $X>nY$ $1/2$

probability normal-distribution

— Vendetta
fuente

¿Qué parece "un poco mal" allí? ¿Estás pensando en la probabilidad condicional quizás? ( ... esa no es la probabilidad en cuestión)

P (X > n Y | Y)

$P(X>nY|Y)$

— Glen_b -Reinstale a Monica el

Si entendí bien, los resultados no parecen intuitivos para usted. Pero incluso en el caso de que n sea grande, Y es positivo con probabilidad (y negativo con probabilidad ). Aunque | X | es poco probable que sea mayor que | nY |, la probabilidad sin valores absolutos es razonable .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

— Lan

Con un estándar bivariado normal (es decir, iid estándar normal), la probabilidad de acostarse en un lado de una línea a través del origen es sin importar la pendiente de la línea. $\frac{_1}{^2}$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Esto se sigue, por ejemplo, de la simetría rotacional de la distribución bivariada sobre , ya que podríamos rotar el problema a uno de considerar en coordenadas rotadas. $O$ $P(X'\gt0)$

De hecho, considerar el uso de transformaciones afines significa que debe ser mucho más general: el argumento se aplicará a cualquier normal bivariado donde ambas varianzas sean mayores que 0. $\frac{_1}{^2}$

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

Gracias, acabo de encontrar mi conclusión un poco intuitiva, pero su diagrama me deja todo esto claro.

— Vendetta

Si e son variables aleatorias conjuntas normales de media cero (no necesariamente independientes), entonces es una variable aleatoria normal promedio de cero y, por lo tanto, independencia y las variaciones no tienen nada que ver con el asunto: todo lo que se necesita para que se cumpla el resultado anterior es que las variables sean conjuntamente normales y que las medias sean cero. (Excepción trivial cuando es igual a , es decir, es una variable aleatoria normal degenerada, también conocida como una constante que ocurre cuando e están perfectamente correlacionados y ).

X

$X$

Y

$Y$

X - a Y

$X-aY$

P {X > a Y} = P {X - a Y > 0} = \frac{1}{2} .

$P\{X > aY\} = P\{X-aY > 0\} = \frac 12.$

X - a Y

$X-aY$

0

$0$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X} = a σ_{Y}

$\sigma_X = a\sigma_Y$

— Dilip Sarwate

Gracias Dilip, su comentario es, por supuesto, completamente correcto: estaba comenzando con las condiciones dadas e intentando motivar el resultado que el OP ya había derivado.

— Glen_b -Reinstale a Monica el