Distribución aproximada del producto de N iid normal? Caso especial μ≈0

Dado iid y , buscando: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

aproximación precisa de distribución de forma cerrada de $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
aproximación asintótica ( ¿ exponencial ?) del mismo producto

Este es un caso especial de una pregunta más general . $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
fuente

1. ¿Tiene alguna información sobre

? (Sería bueno si todo

, por ejemplo). (2) Una aproximación asintótica normal será horrible , porque asintóticamente

no se verá remotamente normal.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Acabo de jugar rápido con esto. Si está interesado, es posible obtener una solución de forma cerrada exacta para el producto de

variables aleatorias que son iid

. El caso

distinto de cero hace las cosas mucho más complicadas.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— Wolfies

@whuber (1) después de hacer algo de monte carlo con diferentes

, descubrí que la distribución de

comporta bastante bien para

; ahora me gustaría encontrar una buena expresión para

similar a cómo

tiene pocas aproximaciones agradables. Construí algunas aproximaciones a través de la expansión de Taylor, pero se portaron mal. (2) bueno,

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$ definitivamente "se ve" como una suma de lo normal con chi al cuadrado, por lo que

puede reducirse a la normalidad, si la aproximación "prueba" eso.

F

$F$

— Andrei Pozolotin

Cuando

se aproximará muy bien por una distribución lognormal (como lo muestra una aplicación del teorema de Barry-Esseen a

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

La aplicación directa de @whuber de Barry-Esseen da

, lo cual es bueno, pero pierde algo de estructura:

debería ser negativo,

debería depender de

, etc. Quizás, ¿hay mejores formas de aplicarlo?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Es posible obtener una solución exacta en el caso de media cero (parte B).

El problema

Sea denotar iid variables, cada una con pdf común : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

Buscamos el pdf de , para $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Solución

El pdf del producto de dos normales es simplemente:

... donde estoy usando la TransformProductfunción del paquete mathStatica para Mathematica . El dominio de soporte es:

El producto de 3, 4, 5 y 6 normales se obtiene aplicando iterativamente la misma función (aquí cuatro veces):

... donde MeijerGdenota la función Meijer G

$n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Cheque rápido de Monte Carlo

Aquí hay una comprobación rápida de comparación:

$n = 6$ $\sigma=3$
al pdf empírico de Monte Carlo: curva AZUL ondulada

¡Se ve bien! [la curva azul ondulada de Monte está oscureciendo la curva exacta de trazos rojos]

— lobos
fuente

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$